Трёхчленная квадратичная форма Рамануджана (Mj~]clyuugx tfg;jgmncugx skjbg Jgbgur;'gug)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Трёхчленная квадратичная форма Рамануджана квадратичная форма с неотрицательными целыми переменными , обладающая необычными свойствами.[1][2]

Свойства формы, открытые Рамануджаном

[править | править код]

Рамануджан рассматривал это выражение в примечании к своей статье[3], опубликованной в 1916 году. Описав необходимые и достаточные условия того, что целое не может быть представлено формой для некоторых , Рамануджан заметил в сноске: «(Эти) результаты могут создать впечатление, что существуют столь же простые свойства для форм при любых . Однако представляется, что в большинстве случаев всё не так просто».[3] Чтобы подкрепить это утверждение Рамануджан привёл свойства формы, которая теперь называется его именем.

  • Все чётные числа, не представимые формой имеют вид .
  • Нечётные числа, не представимые формой  — 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, ... не описываются простым законом.

Числа больше 391

[править | править код]

Многоточие в конце списка означало, что он неполон, но Рамануджан не сказал, считает он список конечным или бесконечным. В 1927 Бёртон и Гордон нашли не представимое число 679 и доказали, что остальные нечётные вплоть до 2000 представимы формой Рамануджана[2]. В 1941 году, Гупта[4] нашёл не представимое число 2719 и доказал, что других таких чисел нет вплоть до 20000. После создания современных компьютеров Голуэй проверил, что не представимых формой Рамануджана нечётных чисел больше нет вплоть до .[1] Исходя из этого Кен Оно[англ.] и Сундарараджан предложили гипотезу:[1]

Все нечётные положительные целые не представимые формой это 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, 679, 2719.

Известные результаты

[править | править код]

Хотя гипотеза Оно полностью не доказана, относительно представимости чисел формой Рамануджана были получены важные новые результаты.[1]

  • Все целые вида представимы.
  • Все нечётные не свободные от квадратов представимы.
  • Существует только конечное число непредставимых нечётных чисел.
  • Если обобщённая гипотеза Римана верна, то верна и гипотеза Оно.

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 3 4 Ono, Ken; Soundararajan, Kannan. Ramanujan's ternary quadratic form (англ.) // Inventiones Mathematicae : journal. — 1997. — Vol. 130, no. 3. — P. 415–454. — doi:10.1007/s002220050191. Архивировано 18 июля 2019 года.
  2. 1 2 Jones, Burton W.; Pall, Gordon. Regular and semi-regular positive ternary quadratic forms (неопр.) // Acta Mathematica. — 1939. — Т. 70, № 1. — С. 165–191. — doi:10.1007/bf02547347.
  3. 1 2 S. Ramanujan. On the expression of a number in the form ax2 + by2 + cz2 + du2 (англ.) // Proc. Camb. Phil. Soc.[англ.] : journal. — 1916. — Vol. 19. — P. 11–21.
  4. Gupta, Hansraj. Some idiosyncratic numbers of Ramanujan (англ.) // Proceedings of the Indian Academy of Sciences, Section A[англ.] : journal. — 1941. — Vol. 13, no. 6. — P. 519—520. — doi:10.1007/BF03049015. Архивировано 8 июля 2020 года.