Троичная логика (Mjkncugx lkintg)

Трои́чная ло́гика (трёхзначная логика или тернарная логика) — один из видов многозначной логики, предложенный Яном Лукасевичем в 1920 году. Трёхзначная логика — исторически первая^{[источник не указан 150 дней]} многозначная логика, является простейшим расширением двузначной логики.

Классификация

Различают чёткую ТЛ, в которой все три значения определяются как конкретные числовые значения (например, $\{0,1,2\}$ , $\{-1,0,+1\}$ , $\{0,{}^{1}\!/_{2},1\}$ ), а также ряд нечётких троичных логик с одним, двумя и тремя нечёткими логическими значениями (выражаемые числами как диапазоны значений).

Нечёткая троичная логика с одним нечётким значением дополняет значения $0$ («ложь») и $1$ («истина») нечётким значением «неопределённость», занимающую (в сравнении с вероятностной логикой) весь интервал $(0,1)$ . Примером значений ТЛ с двумя нечёткими значениями можно назвать («меньше», «равно», «больше»), («отрицательно», 0, «положительно»).

Высокий практический интерес представляет ТЛ с тремя нечёткими значениями, так как любая измеряемая (например, посредством датчиков) информация верна лишь с определенным допуском, то есть в некотором диапазоне значений. Примерами значений таких логик могут быть тройки («меньше», «равно, в пределах допуска», «больше»), («уклон влево», «прямо, в допустимых пределах», «уклон вправо»), («холодно», «прохладно», «жарко») и другие.

Алгебраические свойства

Троичная логика, в отличие от двоичной, не булево кольцо и обладает собственным математическим аппаратом. Он состоит из системы аксиом, которые определяют над множеством {«1», «0», «1»} одноместные и двухместные операции, а также выводимые из них свойства.

Для конъюнкции и дизъюнкции в тройной логике сохраняются коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный) и дистрибутивный (распределительный) законы.

Несколько свойств образуются благодаря особенности отрицания Лукасевича:

$\lnot {\bar {1}}=1$
$\lnot (x\land {\bar {1}})=\lnot x\lor 1$

Однако из-за наличия третьего состояния некоторые законы двоичной логики оказываются неверными, для них сформулированы троичные аналоги. Так, вместо закона противоречия стали применять закон несовместности состояний, вместо закона исключённого третьего — закон полноты состояний (закон исключённого четвёртого), вместо неверного закона Блейка—Порецкого применяют трёхчленный закон Блейка—Порецкого.

Физическая реализация

При физической реализации троичным функциям в троичной логике соответствуют троичные логические элементы, в общем случае не обязательно электронные.

Схемы с 3-4-значной логикой дают возможность сократить количество используемых логических и запоминающих элементов, а также межэлементных соединений. Схемы трёхзначной логики легко реализуются на КМОП-технологии. Трёхзначная логика обладает большей выразительностью, чем двухзначная.

На основе троичных элементов — троичной ферритодиодной ячейки разработки Николая Брусенцова — в 1959 году в вычислительном центре МГУ спроектирована малая ЭВМ «Сетунь», выпущена в 46 экземплярах.

Логики

Логики Клини и Приста

Ниже показаны таблицы истинности для логических операций «Сильной логики неопределённости» (strong logic of indeterminacy) Стивена Клини и «Парадоксальной логики» (logic of paradox, LP) Грэма Приста^[англ.]. Обе логики имеют три логических значения — «ложь», «неопределённость» (в логике Приста — «парадокс») и «истина», которые в логике Клини обозначаются буквами F (false), U (unknown), T (true), а в логике Приста числами −1, 0 и 1^[1].

F: false, U: unknown, T: true

NOT(A)
A	¬ A
F	T
U	U
T	F

AND(A, B)
A ∧ B		B
A ∧ B		F	U	T
A	F	F	F	F
	U	F	U	U
	T	F	U	T

OR(A, B)
A ∨ B		B
A ∨ B		F	U	T
A	F	F	U	T
	U	U	U	T
	T	T	T	T

−1: false, 0: «paradoxical», +1: true

NEG(A)
A	¬ A
−1	+1
0	0
+1	−1

MIN(A, B)
A ∧ B		B
A ∧ B		−1	0	+1
A	−1	−1	−1	−1
	0	−1	0	0
	+1	−1	0	+1

MAX(A, B)
A ∨ B		B
A ∨ B		−1	0	+1
A	−1	−1	0	+1
	0	0	0	+1
	+1	+1	+1	+1

Значение U в логике Клини присваивается выражениям, которые реально имеют значение T или F, но в данный момент это значение по каким-то причинам неизвестно, в результате чего возникает неопределённость. Тем не менее, результат логической операции с величиной U может оказаться определённым. Например, поскольку T & F = F и F & F = F, то и U & F = F. В более общем виде: если для некоторой логической операции oper выполняется соотношение
oper(F,F)=oper(F,T), то oper(F,U)=oper(F,F)=oper(F,T);
аналогично, если
oper(T,F)=oper(T,T), то oper(T,U)=oper(T,F)=oper(T,T).

В отличие от логики Клини, в логике Приста значение 0 определено и считается одновременно и истинным, и ложным (парадоксальным). Разница заключается в определении тавтологий. Тогда как в логике Клини только одно выделенное истинностное значение — это T, в логике Приста оба значения — 1 и 0 — являются выделенными.

При численном обозначении логических значений (-1, 0, 1) логические операции эквивалентны следующим численным операциям:

{\bar {X}}=-X;

X\lor Y=max(X,Y);

X\land Y=min(X,Y).

Операция импликации в логиках Клини и Приста определяется формулой, аналогичной формуле двоичной логики:

X\rightarrow Y\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\bar {X}}\lor Y

.

Таблицы истинности для неё

IMP_K(A, B), OR(¬A, B)
A → B		B
A → B		T	U	F
A	T	T	U	F
	U	T	U	U
	F	T	T	T

IMP_K(A, B), MAX(−A, B)
A → B		B
A → B		+1	0	−1
A	+1	+1	0	−1
	0	+1	0	0
	−1	+1	+1	+1

Это определение отличается от определения импликации, принятого в логике Лукасевича.

Функциональный подход

Назовём функцию $y=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$ функцией трёхзначной логики, если все её переменные принимают значения из множества {0,1,2} и сама функция принимает значения из этого же множества. Примеры функций: max(x, y), min(x, y), x+1 (mod 3). Обозначим $P_{3}$ множество всех функций трёхзначной логики. Под операцией над функциями будем понимать суперпозицию. Класс функций K из $P_{3}$ назовём замкнутым, если любая суперпозиция функций из K принадлежит K. Система функций класса K называется полной, если любая функция из K может быть представлена суперпозицией функций этой системы. Полная система называется базисом, если никакая функция из этой системы не может быть представлена суперпозицией остальных функций этой системы. Доказано, что в $P_{3}$ существует конечный базис (в частности, состоящий из одной функции). Замкнутый класс K называется предполным, если он не совпадает с $P_{3}$ , но добавление любой функции, ему не принадлежащей, порождает $P_{3}$ . С. В. Яблонским доказано^[2], что в $P_{3}$ существует 18 предполных классов. Также доказано, что все они имеют конечные базисы, в частности, состоящие из функций, зависящих не более чем от двух переменных^[3]. Ю. И. Янов и А. А. Мучник доказали^[4], что в $P_{3}$ существуют классы функций, не имеющие базиса, и классы функций, имеющие бесконечный базис. Отсюда следует, что множество замкнутых классов в $P_{3}$ имеет мощность континуума. Этим трёхзначная (и любая многозначная) логика существенно отличается от двухзначной, где, как доказано Постом^[5], все замкнутые классы имеют конечный базис и множество замкнутых классов счётно.

Использование в базах данных

В некоторых системах управления базами данных используется специальное значение UNKNOWN, которое может быть результатом логической операции, наряду со значениями TRUE и FALSE.

Смысл значения UNKNOWN — «неизвестность», то есть неопределённый результат операции. Значение UNKNOWN может использоваться тогда, когда в применяемой системе разработки программного обеспечения используется специальное значение NULL. Операция сравнения возвращает значение UNKNOWN, если один или оба из её операндов равны NULL, а также некоторые логические операции, если одним из их операндов является значение UNKNOWN. Условными операторами языков программирования значение UNKNOWN обрабатывается аналогично FALSE, то есть конструкция вида:

 if UNKNOWN then a := 1 else a := 2

приведёт к присваиванию переменной a значения 2.

Правила операций с UNKNOWN

Любая операция сравнения любого значения с NULL или UNKNOWN даёт в результате UNKNOWN.
not UNKNOWN = UNKNOWN
TRUE and UNKNOWN = UNKNOWN
FALSE and UNKNOWN = FALSE
TRUE or UNKNOWN = TRUE
FALSE or UNKNOWN = UNKNOWN
TRUE xor UNKNOWN = UNKNOWN
FALSE xor UNKNOWN = UNKNOWN

См. также

Примечания

↑ В оригинальной публикации 1979 года Архивная копия от 23 мая 2021 на Wayback Machine — буквами f, p и t соответственно.
↑ Яблонский С. И. Функциональные построения в k-значной логике, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, 51, 1958
↑ Гниденко В. М., Нахождение порядков предполных классов в трёхзначной логике, сб. Проблемы кибернетики, вып 8, М., 1962
↑ Янов Ю. И., Мучник А. А., О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса, ДАН СССР, 127, № 1, 1959
↑ Post E.L. Two-valued iterative systems, Аnn Math. Studies, 5, № 1, 1941

Литература

D. C. Rine (ed.), Computer Science and Multiple-Valued Logic. Theory and Applications. Elsevier, 1977, 548p. ISBN 9780720404067
Васильев Н. И. Воображаемая логика. — М.: Наука, 1989.
Карпенко А. С. Многозначные логики // Логика и компьютер. Вып. №4. — М.: Наука, 1997.
Кэррол Льюис. Символическая логика // Льюис Кэррол. История с узелками. — М.: Мир, 1973.
Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. — М.: Иностранная литература, 1959.
Слинин Я. А. Современная модальная логика. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1976.
Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. — М.: Наука, 1967.
Гетманова А. Д. Учебник по логике. — М.: Владос, 1995. — С. 259—268. — 303 с. — ISBN 5-87065-009-7.
Толковый словарь по вычислительным системам / Под ред. В. Иллингуорта и др.. — М.: Машиностроение, 1990. — 560 с. — ISBN 5-217-00617-X.
Яблонский С. И. Функциональные построения в k-значной логике, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, 51, 1958
Янов Ю. И., Мучник А. А., О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса, ДАН СССР, 127, № 1, 1959
Гниденко В. М., Нахождение порядков предполных классов в трёхзначной логике, сб. Проблемы кибернетики, вып 8, М., 1962
Post E.L. Two-valued iterative systems, Аnn Math. Studies, 5, № 1, 1941
Гектор Гарсиа-Молина, Джеффри Д. Ульман, Дженнифер Уидом «Системы баз данных. Полный курс»

Ссылки

[1] В оригинальной публикации 1979 года Архивная копия от 23 мая 2021 на Wayback Machine — буквами f, p и t соответственно.

[2] Яблонский С. И. Функциональные построения в k-значной логике, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, 51, 1958

[3] Гниденко В. М., Нахождение порядков предполных классов в трёхзначной логике, сб. Проблемы кибернетики, вып 8, М., 1962

[4] Янов Ю. И., Мучник А. А., О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса, ДАН СССР, 127, № 1, 1959

[5] Post E.L. Two-valued iterative systems, Аnn Math. Studies, 5, № 1, 1941

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]