Трилинейная интерполяция (Mjnlnuywugx numyjhklxenx)

Трилинейная интерполяция — метод многомерной интерполяции в трёхмерном евклидовом пространстве. Линейно аппроксимирует значение функции $f$ в точке $(x,y,z)$, используя известные значения в окружающих точках.

Трилинейная интерполяция часто используется в численном анализе и машинной графике.

Сравнение с линейной и билинейной интерполяцией

Трилинейная интерполяция является расширением линейной интерполяции, действующей в пространстве с размерностью $D=1$, и билинейной интерполяции, действующей в пространстве с размерностью $D=2$, на пространство размерности $D=3$. Для того чтобы интерполировать значения функции в точке $(x,y,z)$, необходимо знать значения $f$ в 8 смежных точках, окружающих $(x,y,z)$.

Интерполяция действительной функции

Допустим, требуется интерполировать значение функции $f$ в точке $(x,y,z)$. Пусть даны значения функции $f$ в окружающих точках $(x_{i},y_{j},z_{k})$, где $i=1,2$, $j=1,2$, $k=1,2$, причем $x_{1}<x<x_{2}$, $y_{1}<y<y_{2}$, $z_{1}<z<z_{2}$. Последовательно проводя линейную интерполяцию для каждого измерения, можно получить следующую формулу:

${\begin{aligned}f(x,y,z)&\approx {\frac {f(x_{1},y_{1},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y_{2}-y)(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{1},y_{1},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y_{2}-y)(z-z_{1})+\\&+{\frac {f(x_{1},y_{2},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y-y_{1})(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{1},y_{2},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y-y_{1})(z-z_{1})+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{1},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y_{2}-y)(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{1},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y_{2}-y)(z-z_{1})+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{2},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y-y_{1})(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{2},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y-y_{1})(z-z_{1}).\end{aligned}}$

В частности, в единичном кубе ($x_{1}=y_{1}=z_{1}=0,\quad x_{2}=y_{2}=z_{2}=1$):

${\begin{aligned}f(x,y,z)&\approx f(0,0,0)\cdot (1-x)(1-y)(1-z)+\\&+f(0,0,1)\cdot (1-x)(1-y)z+\\&+f(0,1,0)\cdot (1-x)y(1-z)+\\&+f(0,1,1)\cdot (1-x)yz+\\&+f(1,0,0)\cdot x(1-y)(1-z)+\\&+f(1,0,1)\cdot x(1-y)z+\\&+f(1,1,0)\cdot xy(1-z)+\\&+f(1,1,1)\cdot xyz.\end{aligned}}$