Тригонометрическая формула Виета — один из способов решения кубического уравнения
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0}
Первым решение этого уравнения нашел Никколо Тарталья , Джероламо Кардано опубликовал его решение в 1545 году под своим именем (см. формула Кардано ).
Однако формула Виета более удобна для практического применения[уточнить , ибо позволяет обойтись без мнимых величин.
Вычисляем
Q
=
a
2
−
3
b
9
{\displaystyle Q={\frac {a^{2}-3b}{9}}}
Вычисляем
R
=
2
a
3
−
9
a
b
+
27
c
54
{\displaystyle R={\frac {2a^{3}-9ab+27c}{54}}}
Вычисляем
S
=
Q
3
−
R
2
{\displaystyle S=Q^{3}-R^{2}}
Если
S
>
0
{\displaystyle S>0}
ϕ
=
1
3
arccos
(
R
Q
3
)
{\displaystyle \phi ={\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {R}{\sqrt {Q^{3}}}}\right)}
x
1
=
−
2
Q
cos
(
ϕ
)
−
a
3
{\displaystyle x_{1}=-2{\sqrt {Q}}\cos(\phi )-{\frac {a}{3}}}
x
2
,
3
=
−
2
Q
cos
(
ϕ
±
2
3
π
)
−
a
3
{\displaystyle x_{2,3}=-2{\sqrt {Q}}\cos \left(\phi \pm {\frac {2}{3}}\pi \right)-{\frac {a}{3}}}
Если
S
<
0
{\displaystyle S<0}
тригонометрические функции гиперболическими . Здесь возможны следующие случаи в зависимости от знака
Q
{\displaystyle Q}
Q
>
0
{\displaystyle Q>0}
ϕ
=
1
3
Arch
(
|
R
|
Q
3
)
{\displaystyle \phi ={\frac {1}{3}}\,\operatorname {Arch} \left({\frac {|R|}{\sqrt {Q^{3}}}}\right)}
x
1
=
−
2
sgn
(
R
)
Q
ch
(
ϕ
)
−
a
3
{\displaystyle x_{1}=-2\operatorname {sgn}(R){\sqrt {Q}}\,\operatorname {ch} (\phi )-{\frac {a}{3}}}
x
2
,
3
=
sgn
(
R
)
Q
ch
(
ϕ
)
−
a
3
±
i
3
Q
sh
(
ϕ
)
{\displaystyle x_{2,3}=\operatorname {sgn}(R){\sqrt {Q}}\,\operatorname {ch} (\phi )-{\frac {a}{3}}\pm i{\sqrt {3}}{\sqrt {Q}}\,\operatorname {sh} (\phi )}
Q
<
0
{\displaystyle Q<0}
ϕ
=
1
3
Arsh
(
|
R
|
|
Q
|
3
)
{\displaystyle \phi ={\frac {1}{3}}\,\operatorname {Arsh} \left({\frac {|R|}{\sqrt {|Q|^{3}}}}\right)}
x
1
=
−
2
sgn
(
R
)
|
Q
|
sh
(
ϕ
)
−
a
3
{\displaystyle x_{1}=-2\operatorname {sgn}(R){\sqrt {|Q|}}\,\operatorname {sh} (\phi )-{\frac {a}{3}}}
x
2
,
3
=
sgn
(
R
)
|
Q
|
sh
(
ϕ
)
−
a
3
±
i
3
|
Q
|
ch
(
ϕ
)
{\displaystyle x_{2,3}=\operatorname {sgn}(R){\sqrt {|Q|}}\,\operatorname {sh} (\phi )-{\frac {a}{3}}\pm i{\sqrt {3}}{\sqrt {|Q|}}\,\operatorname {ch} (\phi )}
Q
=
0
{\displaystyle Q=0}
x
1
=
−
c
−
a
3
27
3
−
a
3
{\displaystyle x_{1}=-{\sqrt[{3}]{c-{\frac {a^{3}}{27}}}}-{\frac {a}{3}}}
x
2
,
3
=
−
a
+
x
1
2
±
i
2
|
(
a
−
3
x
1
)
(
a
+
x
1
)
−
4
b
|
{\displaystyle x_{2,3}=-{\frac {a+x_{1}}{2}}\pm {\frac {i}{2}}{\sqrt {|(a-3x_{1})(a+x_{1})-4b|}}}
Если
S
=
0
{\displaystyle S=0}
x
1
=
−
2
sgn
(
R
)
Q
−
a
3
=
−
2
R
3
−
a
3
{\displaystyle x_{1}=-2\operatorname {sgn}(R){\sqrt {Q}}-{\frac {a}{3}}=-2{\sqrt[{3}]{R}}-{\frac {a}{3}}}
x
2
=
sgn
(
R
)
Q
−
a
3
=
R
3
−
a
3
{\displaystyle x_{2}=\operatorname {sgn}(R){\sqrt {Q}}-{\frac {a}{3}}={\sqrt[{3}]{R}}-{\frac {a}{3}}}
Исходный многочлен имеет вид
P
(
x
1
)
=
x
1
3
+
a
⋅
x
1
2
+
b
⋅
x
1
+
c
{\displaystyle P(x_{1})=x_{1}^{3}+a\cdot x_{1}^{2}+b\cdot x_{1}+c}
Подстановкой
x
1
=
x
−
a
3
{\displaystyle x_{1}=x-{\frac {a}{3}}}
Q
(
x
)
=
x
3
+
p
⋅
x
+
q
{\displaystyle Q(x)=x^{3}+p\cdot x+q}
p
=
b
−
a
2
3
{\displaystyle p=b-{\frac {a^{2}}{3}}}
q
=
2
a
3
27
−
a
b
3
+
c
{\displaystyle q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c}
Ищем решение уравнения
Q
(
x
)
=
x
3
+
p
⋅
x
+
q
=
0
{\displaystyle Q(x)=x^{3}+p\cdot x+q=0}
x
=
A
⋅
cos
φ
{\displaystyle x=A\cdot \cos \varphi }
A
3
⋅
cos
3
φ
+
A
p
⋅
cos
φ
=
−
q
{\displaystyle A^{3}\cdot \cos ^{3}\varphi +Ap\cdot \cos \varphi =-q}
Заметим что в случае
p
<
0
{\displaystyle p<0}
A
=
−
4
p
3
{\displaystyle A={\sqrt {-{\frac {4p}{3}}}}}
A
3
4
⋅
(
4
cos
3
φ
−
3
cos
φ
)
=
−
q
{\displaystyle {\frac {A^{3}}{4}}\cdot {\Big (}4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi {\Big )}=-q}
Используя тригонометрическое тождество
cos
3
φ
=
4
cos
3
φ
−
3
cos
φ
{\displaystyle \cos 3\varphi =4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi }
cos
3
φ
=
−
4
q
A
3
{\displaystyle \cos 3\varphi =-{\frac {4q}{A^{3}}}}
Решение этого уравнения имеет вид
φ
k
=
1
3
arccos
(
−
4
q
A
3
)
+
2
π
k
3
{\displaystyle \varphi _{k}={\frac {1}{3}}\arccos {\Big (}-{\frac {4q}{A^{3}}}{\Big )}+{\frac {2\pi k}{3}}}
k
{\displaystyle k}
0
≤
arccos
(
−
4
q
A
3
)
≤
π
{\displaystyle 0\leq \arccos {\Big (}-{\frac {4q}{A^{3}}}{\Big )}\leq \pi }
Подставляя полученные значения
φ
k
{\displaystyle \varphi _{k}}
x
{\displaystyle x}
x
k
=
A
⋅
cos
φ
k
{\displaystyle x_{k}=A\cdot \cos \varphi _{k}}
![{\displaystyle x_{1}=-{\sqrt[{3}]{c-{\frac {a^{3}}{27}}}}-{\frac {a}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92013d21344c083c6f6b9d379ee100b592907a60)
![{\displaystyle x_{1}=-2\operatorname {sgn}(R){\sqrt {Q}}-{\frac {a}{3}}=-2{\sqrt[{3}]{R}}-{\frac {a}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0fd58999db3e1f5af7f0c94c1061132a97b60fc)
![{\displaystyle x_{2}=\operatorname {sgn}(R){\sqrt {Q}}-{\frac {a}{3}}={\sqrt[{3}]{R}}-{\frac {a}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e1b56116e1de739a0dbce46fb1ced949046073)
