Треугольник Хосоя (Mjyrikl,unt }kvkx)
Треугольник Фибоначчи или треугольник Хосоя — это треугольник, составленный из чисел (подобно треугольнику Паскаля) на основе чисел Фибоначчи. Каждое число является суммой двух чисел выше по левой или правой диагонали (например, соотношения 16 + 24 = 40 = 15 + 25 выделены на диаграмме ниже). Первые несколько строк треугольника:
1
1 1
2 1 2
3 2 2 3
5 3 4 3 5
8 5 6 6 5 8
13 8 10 9 10 8 13
21 13 16 15 15 16 13 21
34 21 26 24 25 24 26 21 34
55 34 42 39 40 40 39 42 34 55
89 55 68 63 65 64 65 63 68 55 89
144 89 110 102 105 104 104 105 102 110 89 144
И т. д.
(См. последовательность A058071 в OEIS).
Название
[править | править код]Предпочтительным является название «треугольник Хосоя», в честь японского химика и математика Харуо Хосоя[англ.], который первым предложил такой треугольник в 1976 году[1]. Название «треугольник Фибоначчи» может привести к путанице, так как оно использовалось для обозначения других математических объектов в более поздних работах[2][3].
Рекуррентное соотношение
[править | править код]Числа в этом треугольнике удовлетворяют рекуррентным формулам
- H(0, 0) = H(1, 0) = H(1, 1) = H(2, 1) = 1
и
- H(n, j) = H(n − 1, j) + H(n − 2, j)
- = H(n − 1, j − 1) + H(n − 2, j − 2).
Связь с числами Фибоначчи
[править | править код]Элементы треугольника удовлетворяют тождеству
- H(n, i) = F(i + 1) × F(n − i + 1).
Две крайние диагонали являются числами Фибоначчи, числа же в среднем вертикальном столбце являются квадратами чисел Фибоначчи. Все другие числа треугольника представляются в виде произведения двух различных чисел Фибоначчи, больших единицы. Суммы по строкам треугольника дают элементы свёрнутой последовательности Фибоначчи.
Примечания
[править | править код]- ↑ Haruo Hosoya (1976), «Fibonacci Triangle», The Fibonacci Quarterly, vol. 14, no. 2, p. 173—178.
- ↑ Brad Wilson (1998), «The Fibonacci triangle modulo p». The Fibonacci Quarterly, vol. 36, no. 3, p. 194—203.
- ↑ Ming Hao Yuan (1999), «A result on a conjecture concerning the Fibonacci triangle when k=4» (In Chinese). Journal of Huanggang Normal University, vol. 19, no. 4, p. 19—23.
Литература
[править | править код]- Haruo Hosoya. Fibonacci Triangle // The Fibonacci Quarterly. — 1976. — Т. 14, вып. 2. — С. 173–178.
- Thomas Koshy. Fibonacci and Lucas Numbers and Applications. — New York: Wiley & Sons, 2001. — С. 187–195.