Тета-функция Рамануджана (Mymg-srutenx Jgbgur;'gug)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Тета-функция Рамануджана обобщает тета-функции Якоби, не разрушая основные их свойства. В частности, тройное произведение Якоби принимает особенно элегантный вид, когда записывается в терминах тета-функции Рамануджана. Функция носит имя Сриниваса Рамануджана Айенгора.

Определение

[править | править код]

Тета-функция Рамануджана определяется как

для |ab| < 1. Тождество тройного произведения Якоби тогда принимает вид

Здесь выражение означает q-символ Похгаммера. Тождества, вытекающие из этого

Последнее тождество является функцией Эйлера[англ.], которая тесно связана с эта-функцией Дедекинда[англ.]. Тета-функция Якоби может быть записана в терминах тета-функции Рамануджана:

Приложение в теории струн

[править | править код]

Тета-функция Рамануджана используется для определения критических размерностей в теории бозонных струн, теории суперструн и М-теории.

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Bailey W. N. Generalized Hypergeometric Series. — Cambridge: Cambridge University Press, 1935. — Т. 32. — (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics).
  • Basic Hypergeometric Series. — 2nd. — Cambridge: Cambridge University Press, 2004. — Т. 96. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications). — ISBN 0-521-83357-4.
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Ramanujan function", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Michio Kaku. Hyperspace: A Scientific Odyssey Through Parallel Universes, Time Warps, and the Tenth Dimension. — Oxford: Oxford University Press, 1994. — ISBN 0-19-286189-1.
  • Weisstein, Eric W. Ramanujan Theta Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.