Тета-граф (Mymg-ijgs)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Тета-граф или -graph — вид геометрического остова, подобного графу Яо. Основной метод построения разбивает пространство вокруг каждой вершины на множество углов, которые тем самым разбивают оставшиеся вершины графа. Подобно графам Яо -граф содержит максимум одно ребро на конус[1] (для выбранной вершины), а отличаются они способом выбора ребра. В то время как графы Яо выбирают ближайшую вершину согласно метрике пространства, -граф определяет фиксированный луч, содержащийся в каждом конусе (обычно используется биссектриса угла) и выбирается ближайший сосед согласно ортогональной проекции на этот луч. Получающийся граф показывает некоторые хорошие свойства остовного графа[2].

-графы первым описал Кларксном[3] в 1987 и независимо Кейл[4] в 1988.

Построение

[править | править код]
Пример конуса -графа, исходящего из точки с прямой ортогональных проекций

-графы задаются несколькими параметрами, которые определяют его построение. Наиболее очевидным параметром является , который соответствует числу одинаковых конусов, которые разбивают пространство вокруг каждой вершины. В частности, для вершины , конус из можно представить как два бесконечных луча, исходящих из этой точки с углом между ними. По отношению к мы можем пометить эти конусы как по часовой стрелке. Эти конусы разбивают плоскость, а также разбивают оставшееся множество вершин графа (предполагается общее положение вершин) на множества снова относительно точки . Каждая вершина графа имеет одно и то же число конусов разбиения в той же самой ориентации и мы можем рассматривать множество вершин, попавших внутрь каждого конуса.

Рассмотрим отдельный конус и нам нужно указать другой луч, исходящий из , который мы обозначим . Для любой вершины внутри конуса мы рассмотрим ортогональную проекцию каждой точки на луч . Пусть вершина обладает наименьшей такой проекцией, тогда в граф добавляется ребро . Это главное отличие от графов Яо, которые всегда выбирают ближайшую к вершину. В примере на рисунке граф Яо включил бы ребро .

Построение -графа возможно с помощью заметающей прямой за время [2].

-графы показывают некоторые хорошие свойства для геометрического остова.

Когда параметр является константой, -граф является разреженным остовом. Каждый конус даёт максимум одно ребро, большинство вершин будет иметь малую степень и весь граф будет иметь не более рёбер.

Коэффициент растяжения[англ.] между любыми двумя точками остова определяется как отношение между метрическим расстоянием и расстоянием по остову (то есть следуя вдоль рёбер остова). Коэффициент растяжения всего остова равен максимальному коэффициенту растяжения по всем парам точек. Как было указано выше, , тогда, если , -граф имеет коэффициент растяжения, не превосходящий [2]. Если в качестве прямой для ортогональной проекции выбирается в каждом конусе биссектриса, то для коэффициент растяжения не превосходит [5].

Для -граф образует граф ближайших соседей. Для легко видеть, что граф связен, поскольку каждая вершина связана с чем-то слева и с чем-то справа, если они существуют. Для [6] [7], [8] и [5] известно, что -граф связен. Есть неопубликованные результаты, показывающие, что -графы связны также и для . Есть много результатов, дающих верхнюю и/или нижнюю границу коэффициента растяжения.

Если чётно, мы можем создать вариант -графа, известного как полу--граф, где конусы разбиты на чётные и нечётные множества и рассматриваются рёбра только в чётных конусах (или только в нечётных). Известно, что полу--графы имеют некоторые очень интересные свойства. Например, известно, что полу--граф (и, следовательно, -граф, который является просто объединением двух дополняющих друг друга полу--графов) являются 2-оствами[8].

Программы рисования тета-графов

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. Под конусом в данном случае понимаются два луча, исходящих из точки, то есть угол.
  2. 1 2 3 Narasimhan, Smid, 2007.
  3. Clarkson, 1987, с. 56–65.
  4. Keil, 1988, с. 208–213.
  5. 1 2 Ruppert, Seidel, 1991, с. 207–210.
  6. Barba, Bose, De Carufel, van Renssen, Verdonschot, 2013, с. 109–120.
  7. Bose, Morin, van Renssen, Verdonschot, 2015, с. 108–119.
  8. 1 2 Bonichon, Gavoille, Hanusse, Ilcinkas, 2010, с. 266–278.

Литература

[править | править код]
  • Keil J. Approximating the complete Euclidean graph // Scandinavian Workshop on Algorithm Theory (SWAT 88). — 1988. — Т. 318. — (Lecture Notes in Coputer Science (LNCS)).
  • Giri Narasimhan, Michiel Smid. Geometric Spanner Networks. — Cambridge University Press, 2007. — ISBN 0-521-81513-4.
  • Clarkson K. Approximation algorithms for shortest path motion planning // In Proceedings of the nineteenth annual ACM symposium on Theory of computing (STOC '87) / Alfred V. Aho (Ed.). — New York, NY, USA: ACM, 1987.
  • Ruppert J., Seidel R. Approximating the d-dimensional complete Euclidean graph // In Proc. 3rd Canad. Conf. Comput. Geom. — 1991.
  • Luis Barba, Prosenjit Bose, Jean-Lou De Carufel, André van Renssen, Sander Verdonschot. On the stretch factor of the theta-4 graph // Algorithms and data structures. — Heidelberg: Springer, 2013. — P. 109–120. — (Lecture Notes in Computer Science). — doi:10.1007/978-3-642-40104-6_10.
  • Prosenjit Bose, Pat Morin, André van Renssen, Sander Verdonschot. The θ5-graph is a spanner // Computational Geometry. — 2015. — Т. 48, вып. 2. — С. 108–119. — doi:10.1016/j.comgeo.2014.08.005. — arXiv:1212.0570.
  • Bonichon N., Gavoille C., Hanusse N., Ilcinkas D. Connections between theta-graphs, Delaunay triangulations, and orthogonal surfaces. // In Graph Theoretic Concepts in Computer Science. — Berlin/Heidelberg: Springer, 2010. — С. 266–278.