Тест Вальда (Myvm Fgl,;g)
Тест Ва́льда — статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оценённых на основе выборочных данных. Является одним из трёх базовых тестов проверки ограничений наряду с тестом отношения правдоподобия и тестом множителей Лагранжа. Тест является асимптотическим, то есть для достоверности выводов требуется достаточно большой объём выборки.
Сущность и процедура теста
[править | править код]Пусть имеется эконометрическая модель с вектором параметров . Необходимо проверить по выборочным данным гипотезу , где — совокупность (вектор) некоторых функций параметров. Идея теста заключается в том, что если нулевая гипотеза верна, то и выборочный вектор должен быть в некотором смысле близок к нулю. Предполагается, что оценки параметров хотя бы состоятельны и асимптотически нормальны (таковы, например, оценки метода максимального правдоподобия), то есть
Отсюда, исходя из предельных теорем имеем:
где — якобиан (матрица первых производных) вектора в точке .
Тогда
Если выполнена нулевая гипотеза (), то имеем
Это и есть статистика Вальда. Поскольку ковариационная матрица , вообще говоря, на практике неизвестна, то вместо неё используется некоторая её оценка. Также вместо неизвестных истинных значений коэффициентов используют их оценки . Следовательно на практике мы получаем приблизительное значение , поэтому тест Вальда асимптотический, то есть для правильных выводов нужна большая выборка.
Если эта статистика больше критического значения при данном уровне значимости , то гипотеза об ограничениях отвергается в пользу модели без ограничений («длинная модель»). В противном случае ограничения могут иметь место, и лучше построить модель с ограничениями, называемую «короткой моделью».
Необходимо отметить, что тест Вальда чувствителен к способу формулировки нелинейных ограничений. Например, простое ограничение равенства двух коэффициентов можно сформулировать как равенство их отношения единице. Тогда результаты теста теоретически могут быть разными, несмотря на то, что гипотеза одна и та же.
Частные случаи
[править | править код]Если функции линейны, то есть проверяется гипотеза следующего вида , где — некоторая матрица ограничений, — некоторый вектор, то матрица в данном случае - это фиксированная матрица . Если речь идёт о классической линейной модели регрессии, то ковариационная матрица оценок коэффициентов равна . Поскольку дисперсия ошибок неизвестна, то используют либо её состоятельную оценку , либо несмещённую оценку . Следовательно, статистика Вальда тогда имеет вид:
В частном случае, когда матрица ограничений единичная (то есть проверяются равенства коэффициентов некоторым значениям), то формула упрощается:
Если рассматривается только одно линейное ограничение , то статистика Вальда будет равна
В данном случае статистика Вальда оказывается равной квадрату -статистики.
Можно показать, что статистика Вальда для классической линейной модели выражается через суммы квадратов остатков длинной и короткой моделей следующим образом
,
где индекс относится к длинной модели (long), а — к короткой (short). Если используется несмещённая оценка дисперсии ошибок, то в формуле вместо необходимо использовать .
В частности, для проверки значимости регрессии в целом , поэтому получаем следующую формулу для статистики Вальда
где — коэффициент детерминации.
Взаимосвязь с другими тестами
[править | править код]Доказано, что тест Вальда (W), тест отношения правдоподобия (LR) и тест множителей Лагранжа (LM) — асимптотически эквивалентные тесты (). Тем не менее для конечных выборок значения статистик не совпадают. Для линейных ограничений доказано неравенство . Тем самым тест Вальда будет чаще других тестов отвергать нулевую гипотезу об ограничениях. В случае нелинейных ограничений первая часть неравенства выполняется, а вторая — вообще говоря, нет.
Вместо теста Вальда можно использовать F-тест, статистика которого рассчитывается по формуле:
или ещё проще , если при расчёте статистики Вальда использовалась несмещённая оценка дисперсии. Эта статистика имеет в общем случае асимптотическое распределение Фишера . В случае нормального распределения данных — то и на конечных выборках.
Литература
[править | править код]- Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. — М.: Дело, 2004. — 576 с.
- William H. Greene. Econometric analysis. — New York: Pearson Education, Inc., 2003. — 1026 с.
Для улучшения этой статьи по статистике желательно:
|