Теория Серфа (Mykjnx Vyjsg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

На границе теории особенностей и дифференциальной топологии теория Серфа изучает семейства гладких вещественнозначных функций

на гладком многообразии , их типичные особенности и топологию подпространств, которую эти особенности определяют, как подпространств пространства функций. Теория названа именем Жона Серфа[англ.], который начал развивать теорию в конце 1960-х.

Марстон Морс доказал, что если компактно, любая гладкая функция

может быть аппроксимирована функцией Морса. Таким образом, для многих целей можно заменить произвольные функции на функциями Морса.

Следующий шаг, можно спросить: «Если у вас есть 1-параметрическое семейство функций, которое начинается и кончается функциями Морса, можем ли мы быть уверенными, что всё семейство состоит из функций Морса?» В общем случае ответом будет нет. Рассмотрим, например, семейство

как 1-параметрическое семейство функций на . В момент

функция не имеет критических точек, а в момент

функция является функцией Морса с двумя критическими точками

.

Серф показал, что 1-параметрическое семейство функций между двумя функциями Морса может быть аппроксимировано семейством функций Морса во всех точках времени, кроме конечного числа. Вырождение проявляется в появлении/исчезновении критических точек, как в примере выше.

Расслоение бесконечномерного пространства

[править | править код]

Вернёмся в общему случаю, когда является компактным многообразием. Пусть обозначает пространство функций Морса

а обозначает пространство гладких функций

.

Морс доказал, что

является открытым и плотным в топологии .

Имеется интуитивная аналогия. Рассмотрим функции Морса как открытый слой максимальной размерности в расслоении[англ.] (мы не утверждаем, что такое расслоение существует, но предполагаем, что оно есть). Заметим, что в расслоённых пространствах открытый слой коразмерности 0 является открытым и плотным. С целью упрощения обозначений делаем соглашения об индексировании расслоений в расслоённом пространстве обратными и индексируем открытый слой не по его размерности, а по его коразмерности. Это удобнее, поскольку бесконечномерно, если не является конечным множеством. По предположению открытый слой с коразмерностью 0 пространства является , то есть . В расслоённом пространстве часто несвязно. Существенной характеристикой слоя с коразмерностью 1 является то, что любой путь в , который начинается и кончается в , может быть аппроксимирован путём, который пересекает перпендикулярно в конечном числе точек и не пересекает для любого .

Тогда теория Серфа — это теория, изучающая слои с положительной коразмерностью, то есть для . В случае

,

только для функция не является функцией Морса и

имеет кубическую вырожденную критическую точку, соответствующую появлению/исчезновению особенности.

Единственный параметр (время), утверждение теоремы

[править | править код]

Теорема Морса утверждает, что если является функцией Морса, то рядом с критической точкой она сопряжена с функцией вида

,

где .

Теорема Серфа для 1-параметрического семейства устанавливает существенное свойство слоя коразмерности один.

А именно, если является 1-параметрическим семейством гладких функций на с и являются функциями Морса, то существует гладкое 1-параметрическое семейство , такое, что , равномерно близка к в -топологии на функциях . Более того, являются функциями Морса во всех точках, кроме конечного числа. В точках, в которых функция не является функцией Морса, функция имеет только одну вырожденную критическую точку и рядом с этой точкой семейство сопряжено с семейством

где . Если , это будет 1-параметрическое семейство функций, в котором создаются две критические точки (при возрастании ), а для это будет 1-параметрическое семейство, в котором две критические точки исчезают.

Кусочно-линейную[англ.]-задачу Шёнфлиса для решил Дж. У. Александер в 1924. Его доказательство приспособили для гладкого случая Морс и Байада[англ.][1]. Существенное свойство использовал Серф для доказательства, что любой сохраняющий ориентацию диффеоморфизм изотопен тождественному[2], что рассматривается как 1-параметрическое расширение теоремы Шёнфлиса для . Следствие в то время имело широкое применение в дифференциальной топологии. Существенное свойство позднее Серф использовал для доказательства теоремы о псевдоизотопии[англ.][3] для многомерных односвязных многообразий. Доказательство является 1-параметрическим расширением доказательства Смейла теоремы о h-кобордизме (Морс, а также Милнор[4] и Серф-Грамейн-Морин[5] переписали по предложению Тома доказательство Смейла в терминах функциональной концепции).

Доказательство Серфа построено на работе Тома и Мазера[6]. Полезным современным обзором работы Тома и Мазера является книга Глубитского и Гильмена[7].

Приложения

[править | править код]

Помимо вышеупомянутых применений, Робион Кёрби использовал теорию Серфа в качестве ключевого шага в обосновании исчисления Кёрби.

Расслоение дополнения подпространства бесконечной коразмерности пространства гладких отображений со временем разработал Сержераер[8].

В семидесятые годы задачу классификации для псевдоизотопий многообразий, не являющихся односвязными, решили Хэтчер[англ.] и Вагонер[9], открыв алгебраические -разрушения на () и (), и Киёси Игуса, который открыл разрушения аналогичной природы на ()[10].

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Marston Morse, Emilio Baiada[англ.]. Homotopy and homology related to the Schoenflies problem // Annals of Mathematics. — 1953. — Т. 58. — С. 142–165. — doi:10.2307/1969825.
  • Mather J. Classification of stable germs by R-algebras // Publ. Math. IHES. — 1969.
  • Golubitsky M., Guillemin V. Stable Mappings and Their Singularities. — Springer-Verlag, 1973. — Т. 14. — (Graduate Texts in Mathematics).
  • Jean Cerf. Sur les difféomorphismes de la sphère de dimension trois (). — Berlin-New York: Springer-Verlag, 1968. — Т. 53. — (Lecture Notes in Mathematics).
  • Jean Cerf. La stratification naturelle des espaces de fonctions différentiables réelles et le théorème de la pseudo-isotopie // Publications Mathématiques de l'IHÉS. — 1970. — Т. 39. — С. 5–173.
  • Milnor J. Lectures on the h-cobordism theorem, Notes by L.Siebenmann and J.Sondow. — Princeton Math. Notes, 1965.
  • Jean Cerf, Andre Gramain. Le theoreme du h-cobordisme (Smale). — Ecole Normale Superieure, 1968.
  • Sergeraert F. Un theoreme de fonctions implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.. — 1972. — Т. 5, вып. 4.
  • Allen Hatcher, John Wagoner. Pseudo-isotopies of compact manifolds // Astérisque. — Paris: Société Mathématique de France, 1973. — Вып. 6.
  • Igusa K. Stability theorem for smooth pseudoisotopies. K-Theory 2. — 1988. — Вып. 1—2.