Теория Лифшица (Mykjnx Lnsoneg)

Теория Лифшица является общей теорией флуктуационных сил Ван-дер-Ваальса и Казимира. Основным результатом теории является формула для свободной энергии электромагнитного поля, которая позволяет получить давление, возникающее между материальными поверхностями из-за действия флуктуационных сил. В теории Лифшица среда классическая, а электромагнитное поле — квантовое. Теория разработана советским физиком Евгением Михайловичем Лифшицем в 1956 году.

Формула Лифшица

Формула для энергии при нулевой температуре

Энергия как функция от расстояния между двумя одинаковыми плоскопараллельными пластинами:

$E(a)={\frac {\hbar }{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\int _{0}^{\infty }d\xi \left\{\ln[1-r_{\textrm {TM}}^{2}(i\xi ,k_{\perp })e^{-2aq}]+\ln[1-r_{\textrm {TE}}^{2}(i\xi ,k_{\perp })e^{-2aq}]\right\}$, (1)

где $q^{2}=q^{2}(i\xi ,k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\xi ^{2}/c^{2}$. Здесь $k_{\perp }$ — проекция волнового вектора электромагнитного поля на плоскость поверхности пластин, $\xi$ — мнимая частота, $c$ — скорость света, $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка. Свойства материалов учитываются через коэффициенты отражения — $r_{\textrm {TE}}$ и $r_{\textrm {TM}}$. Коэффициенты отражения задаются формулами Френеля:

$r_{\textrm {TM}}(i\xi ,k_{\perp })={\frac {\epsilon (i\xi )q(i\xi ,k_{\perp })-k(i\xi ,k_{\perp })}{\epsilon (i\xi )q(i\xi ,k_{\perp })+k(i\xi ,k_{\perp })}},\quad r_{\textrm {TE}}(i\xi ,k_{\perp })={\frac {q(i\xi ,k_{\perp })-k(i\xi ,k_{\perp })}{q(i\xi ,k_{\perp })+k(i\xi ,k_{\perp })}},$ (2)

где $k^{2}=k^{2}(i\xi ,k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\epsilon (i\xi )\xi ^{2}/c^{2}$.

Формула для давления при нулевой температуре

Давление как функция от расстояния между двумя одинаковыми плоскопараллельными пластинами:

$P(a)=-{\frac {\hbar }{2\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\int _{0}^{\infty }d\xi \;q\left\{[r_{\textrm {TM}}^{-2}(i\xi ,k_{\perp })e^{2aq}-1]^{-1}+[r_{\textrm {TE}}^{-2}(i\xi ,k_{\perp })e^{2aq}-1]^{-1}\right\}$. (3)

Используемые обозначения описаны выше.

Формула для свободной энергии при произвольной температуре

Свободная энергия как функция от температуры и расстояния между двумя разными плоскопараллельными пластинами:

${\mathcal {F}}(a,T)={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }\!{\text{ }}^{'}\int _{0}^{\infty }k_{\perp }dk_{\perp }\left\{\ln[1-r_{\textrm {TM}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TM}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })e^{-2aq_{l}}]+\ln[1-r_{\textrm {TE}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TE}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })e^{-2aq_{l}}]\right\}$, (4)

здесь штрих у знака суммы обозначает множитель $1/2$ у нулевого члена ряда, индекс 1 и 2 у коэффициентов отражения обозначают первую и вторую пластины соответственно, $k_{\mathrm {B} }$ — постоянная Больцмана, $q_{l}^{2}=q^{2}(i\xi _{l},k_{\perp })=k_{\perp }^{2}+\xi _{l}^{2}/c^{2}$, а $\xi _{l}$ — частоты Мацубары, которые заданы выражением

$\xi _{l}=2\pi {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\hbar }}l$. (5)

Формула для давления при произвольной температуре

Давление как функция от температуры и расстояния между двумя разными плоскопараллельными пластинами:

$P(a,T)=-{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }\!{\text{ }}^{'}\int _{0}^{\infty }q_{l}k_{\perp }dk_{\perp }\left\{\left[{\frac {e^{2aq_{l}}}{r_{\textrm {TM}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TM}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })}}-1\right]^{-1}+\left[{\frac {e^{2aq_{l}}}{r_{\textrm {TE}}^{(1)}(i\xi _{l},k_{\perp })r_{\textrm {TE}}^{(2)}(i\xi _{l},k_{\perp })}}-1\right]^{-1}\right\}$. (6)

Используемые обозначения описаны выше.

См. также

• Эффект Казимира
• Силы Ван-дер-Ваальса
• Евгений Михайлович Лифшиц

Литература

• M. Bordag, G.L. Klimchitskaya, U. Mohideen, V.M. Mostepanenko. Advances in the Casimir Effect. — 2009.