Теоремы Мертенса (Mykjybd Byjmyuvg)

Теоремы Мертенса — три результата 1874 года, связанные с плотностью простых чисел, доказанные Францем Мертенсом^[1]. Название «теорема Мертенса» может относиться также к его теореме в анализе.

В теории чисел

Ниже $p\leqslant n$ означает все простые числа, не превосходящие n.

Первая теорема Мертенса:

\sum _{p\leqslant n}{\frac {\ln p}{p}}-\ln n

не превосходит 2 по абсолютной величине для любого $n\geqslant 2$ . (последовательность A083343 в OEIS)

Вторая теорема Мертенса:

\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n-M\right)=0,

где M — константа Майсселя — Мертенса (последовательность A077761 в OEIS). Более точно, Мертенс^[1] доказал, что выражение в скобках не превосходит по абсолютному значению

{\frac {4}{\ln(n+1)}}+{\frac {2}{n\ln n}}

для любого $n\geqslant 2$ .

Третья теорема Мертенса:

\lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },

где γ — постоянная Эйлера — Маскерони (последовательность A001620 в OEIS).

Изменение знака

В работе Робина^[2] о степени роста функции суммы делителей, опубликованной в 1983, Гай Робин доказал, что во второй теореме Мертенса разность

\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n-M

меняет знак бесконечно много раз, а в третьей теореме Мертенса разность

\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }

также меняет знак бесконечно много раз. Результаты Робина аналогичны знаменитой теореме Литлвуда, что разность $\pi (x)-li(x)$ меняет знак бесконечно много раз. Никакого аналога числу Скьюза (верхней границе для первого натурального числа x, для которого $\pi (x)>li(x)$ ) не известны для 2-й и 3-й теорем Мертенса.

Вторая теорема Мертенса и теорема о простых числах

Относительно асимптотической формулы Мертенс указывает в своей статье на «две любопытные формулы Лежандра»^[1], первая является прототипом второй теоремы Мертенса (а вторая является прототипом третьей теоремы Мертенса — см. первые строки статьи). Он указывает, что формула содержится в третьем издании книги Лежандра «Théorie des nombres» (1830; Фактически, он упоминал её во втором издании, 1808), а также что более тщательно проработанную версию доказал Чебышёв в 1851^[3]. Заметим, что уже в 1737, Эйлер знал асимптотическое поведение этой суммы ^[4].

Мертенс дипломатично описывает своё доказательство как более точное и строгое. В действительности, ни одно из предыдущих доказательств неприемлемо по современным стандартам — вычисления Эйлера вовлекают бесконечность (гиперболический логарифм бесконечности и логарифм логарифма бесконечности!), аргументы Лежандра эвристичны, а доказательство Чебышева, хотя безупречное, опирается на гипотезу Лежандра — Гаусса, которая была доказана лишь в 1896 и после этого стала известна как теорема о распределении простых чисел.

Доказательство Мертенса не обращается к какой-либо недоказанной гипотезе (в 1874) и использует элементарный вещественный анализ. Доказательство опубликовано на 22 года раньше первого доказательства теоремы о распределении простых чисел, которая, в отличие от доказательства Мертенса, опирается на тщательный анализ поведения дзета-функции Римана как функции комплексного переменного. Доказательство Мертенса в этом отношении замечательно. Более того, в современных обозначениях из него получается

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)

с учётом того, что можно показать эквивалентность теоремы о распределении простых чисел (в её простейшей форме без оценки ошибки) формуле^[5]

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).

В 1909 Ландау с помощью более совершенной версии теоремы о распределении простых чисел доказал^[6], что выполняется

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14}})

.

В частности, ошибка меньше, чем $1/(\log x)^{k}$ для любого фиксированного целого k. Простое суммирование по частям, использующее наиболее сильную форму теоремы о распределении простых чисел, улучшает формулу до

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}})

для некоторого $c>0$ .

В теории суммируемости

В теории суммирования теорема Мертенса утверждает, что если вещественный или комплексный бесконечный ряд

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}

сходится к A, а другой ряд

\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}

сходится абсолютно к B, то их произведение Коши^[англ.] сходится к AB.

Примечания

↑ ¹ ² ³ Mertens, 1874, с. 46–62.
↑ Robin, 1983, с. 233–244.
↑ Tchebychev, 1851, с. 141–157.
↑ Euler, 1737, с. 160–188.
↑ Хотя эта эквивалентность здесь не упомянута явно, её, например, можно легко вывести из материла в главе I.3 книги Г. Тененбаума (Tenenbaum 1995)
↑ Landau, 1909.

Литература

Mertens F. Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie // J. reine angew. Math.. — 1874. — Т. 78.
Robin G. Sur l’ordre maximum de la fonction somme des diviseurs // Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Progress in Mathematics. — 1983. — Т. 38.
Tchebychev P.L. Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers // Mémoires présentés à l'Académie Impériale des Sciences de St-Pétersbourg par divers savants. — 1851. — Т. VI.
Leonhard Euler. Variae observationes circa series infinitas // Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. — 1737. — Т. 9.
Tenenbaum G. Introduction to analytic and probabilistic number theory / C. B. Thomas (Translated from the second French edition, 1995). — Cambridge: Cambridge University Press, 1995. — Т. 46. — (Cambridge Studies in Advanced Mathematics).
Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. — Leipzig: Teubner, 1909. Repr. Chelsea New York 1953, § 55, p. 197-203.
В. И. Зенкин. Распределение простых чисел. Элементарные методы. Калининград, 2008.

Литература для дальнейшего чтения

Прахар К. Распределение простых чисел. — М.,: Мир, 1967.

Яглом А.М., Яглом И.М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении. — М.,: Гостехиздат, 1954. Задачи 167, 169, 170

Ссылки

Weisstein, Eric W. Mertens Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. Mertens Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Mertens' Second Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[_cac4f687aa06f57c-1] ¹ ² ³ Mertens, 1874, с. 46–62.

[_015c3802462942f3-2] Robin, 1983, с. 233–244.

[_11c1107d20c4e9c3-3] Tchebychev, 1851, с. 141–157.

[_2b6af36d2c674769-4] Euler, 1737, с. 160–188.

[5] Хотя эта эквивалентность здесь не упомянута явно, её, например, можно легко вывести из материла в главе I.3 книги Г. Тененбаума (Tenenbaum 1995)

[_d35a3c2e877b32cd-6] Landau, 1909.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]