Теорема унитарности (Mykjybg runmgjukvmn)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема унитарности (англ. Unitarity theorem) — утверждение о свойствах представлений конечных групп. Играет важную роль при применении методов теории групп в физике[1].

Формулировка

[править | править код]

Для всякого представления конечной группы , определённого в конечномерном пространстве , можно определить скалярное произведение для любых векторов в этом пространстве таким образом, чтобы все операторы были унитарными, то есть чтобы для всех выполнялось равенство: .

Доказательство

[править | править код]

Определим в пространстве новое скалярное произведение: . Здесь  — число элементов конечной группы . Покажем, что все операторы унитарны относительно этого скалярного произведения: . Имеем: . Когда элемент по одному разу пробегает все элементы группы , то произведение при фиксированном тоже пробегает по одному разу все элементы этой группы. Поэтому суммы и отличаются только порядком слагаемых, и, таким образом, равны друг другу. Тождество доказано, следовательно, доказана теорема унитарности[2].

  • Если  — инвариантное относительно представления подпростанство, то ортогональное к нему подпространство тоже инвариантно относительно представления [3].
  • Если  — неприводимое представление конечной группы, то пространство не содержит ни одного нетривиального подпространства, инвариантного относительно представления [4].

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Любарский Г.Я. Теория групп и физика. — М.: Наука, 1986. — 224 с.