Теорема о частном (Mykjybg k cgvmukb)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема о частном — утверждение о том, что если результат умножения вектора на величину с произвольным числом верхних и нижних индексов является тензором для любого вектора, то величина с верхними и нижними индексами является тензором.

Формулировка

[править | править код]

Пусть величина такова, что для любого вектора величина является тензором. В этом случае величина является тензором.

Доказательство

[править | править код]

Рассмотрим преобразование от старой криволинейной системы координат, где вектор имеет координаты к новой системе координат, где этот же вектор имеет координаты . Условимся обозначать . Обозначим величину . По условию, есть тензор, поэтому . Тогда . Так как является вектором, по правилам преобразования векторов имеем: . Таким образом: Это равенство должно быть верным для всех , следовательно . Величина является тензором. Доказательство нетрудно обобщить на любое число верхних и нижних индексов[1].

Примечания

[править | править код]
  1. Дирак, 1978, с. 14.

Литература

[править | править код]
  • Дирак П.А.М. Общая теория относительности. — М.: Атомиздат, 1978. — 64 с.