Теорема о замкнутой подгруппе (Mykjybg k [gbturmkw hk;ijrhhy)

Теорема о замкнутых подгруппах утверждает, что каждая замкнутая подгруппа группы Ли является вложенной подгруппой Ли (то есть наследует свою топологическую и дифференцирующую структуру из основной группы). То есть предполагая лишь, что подгруппа образует замкнутое множество получаем, что она также образует вложенное подмногообразие и соответственно подгруппу Ли.

Поскольку подгруппа Ли является вложенной тогда и только тогда, когда она замкнута, то отсюда получается, что (абстрактная) подгруппа является вложенной подгруппой Ли тогда и только тогда, когда она является замкнутым подмножеством.

Теорема позволяет найти много примеров групп Ли и для доказательства их принадлежности к этим группам достаточно доказать ихнюю замкнутость в некоторых подгруппах Ли, что часто относительно просто. Например, специальные линейные группы или ортогональные группы являются замкнутыми подгруппами полных линейных групп.

Литература

• Адамс Дж. Ф. Лекции по группам Ли. — М.: Наука, 1979.
• Постников М. М. Группы и алгебры Ли. — М.: Наука, 1982. — 447 с. — (Лекции по геометрии. Семестр V).