Теорема о дисконтинууме (Mykjybg k ;nvtkumnurrby)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема о дисконтинууме — утверждение о том, что между точками любых двух ограниченных дисконтинуумов можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок следования точек на прямой.

Формулировка

[править | править код]

Всякое ограниченное, совершенное, нигде не плотное линейное множество подобно канторову множеству, и, следовательно, все такие множества подобны друг другу.

Два линейных точечных множества и называются подобными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок следования точек на прямой, то есть такое, что если , , и , то .

Доказательство

[править | править код]

Пусть — линейное ограниченное, совершенное, нигде не плотное множество. Оно получается из наименьшего отрезка , его содержащего, выбрасыванием счётного числа интервалов, не имеющих попарно общих точек и концов. Смежных интервалов будет обязательно счётное множество, так как при конечном числе смежных интервалов не было бы нигде не плотным. Пусть — наибольший по длине смежный интервал множества или, если таких интервалов несколько (конечное число), самый левый из них. Отрезки, получившиеся после удаления из , обозначим через и . Пусть — наибольший по длине смежный интервал множества , лежащий на или самый левый Обозначим через и отрезки, остающиеся после удаления из интервала . Аналогично приходим к интервалу и отрезкам и и так далее. Отметим, что при каждом шаге на каждом из отрезков будут обязательно смежные интервалы, так как в противном случае весь этот отрезок принадлежал бы и множество не было бы нигде не плотным. Таким образом: . Получаем, что каждая точка определяется счётным множеством индексов, принимающих независимо два значения: , где . Пусть и — две различные точки множества : , . Предположим, что и лежат на одном и том же отрезке 1-го, 2-го, ..., (k-1)-го ранга, но на разных отрезках k-го ранга. Тогда . Ясно, что если , то и обратно, если , то . Доказательство теоремы завершает установление взаимно однозначного соответствия если .

Литература

[править | править код]
  • Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 75.