Теорема об огибающей (Mykjybg kQ kinQgZpyw)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема об огибающей (англ. envelope theorem) — результат о дифференцируемости целевой функции в оптимизационных задачах с параметром. Теорема гласит, что при варьировании значения параметра, изменение целевой функции (в определённом смысле) не обусловлено изменением оптимума. Теорема важна для сравнительной статики в оптимизационных моделях[1].

Пусть и — вещественнозначные непрерывные дифференцируемые функции, определённые на , где есть переменные, а — параметры. Рассмотрим задачу выбора при заданных с тем, чтобы найти:

при и .

Лагранжиан:

где — множители Лагранжа. Пусть и есть решение, то есть точка, максимизирующая f при заданных ограничениях (и, следовательно, седловые точки лагранжиана),

Определим функцию значения

Тогда верна следующая теорема.[2][3]

Теорема: Положим, что и непрерывны и дифференцируемы. Тогда

где .

Примечания

[править | править код]
  1. Carter, Michael. Foundations of Mathematical Economics (неопр.). — Cambridge: MIT Press, 2001. — С. 603—609. — ISBN 0-262-53192-5.
  2. Afriat, S. N. Theory of Maxima and the Method of Lagrange (англ.) // SIAM Journal on Applied Mathematics[англ.] : journal. — 1971. — Vol. 20, no. 3. — P. 343—357. — doi:10.1137/0120037.
  3. Takayama , Akira. Mathematical Economics (неопр.). — Second. — New York: Cambridge University Press, 1985. — С. 137—138. — ISBN 0-521-31498-4. Архивировано 22 февраля 2017 года.