Теорема де Гуа (Mykjybg ;y Irg)

Иллюстрация теоремы де Гуа

Теоре́ма де Гуа — одно из обобщений теоремы Пифагора на старшие размерности.

Высечем из куба пирамиду, отрезав плоскостью одну из его вершин. Тогда для такой пирамиды верно следующее соотношение: квадрат площади грани противолежащей вершине куба (вершине при прямом угле) равен сумме квадратов площадей граней прилежащих к этому углу (см. рисунок).

$S_{ABC}^{2}=S_{ABD}^{2}+S_{BDC}^{2}+S_{ADC}^{2}.\$

Иными словами, если мы заменим плоский прямой угол трёхмерным, отрезки — гранями, а треугольник — пирамидой, то теорема снова окажется верна, но не для длин сторон, а для площадей граней полученной пирамиды.

Существует обобщение этой теоремы для n-мерного пространства и ортогональных n-симплексов: сумма квадратов всех (n− 1)-мерных объёмов граней, прилегающих к ортогональному углу n-симплекса, равна квадрату (n− 1)-мерного объёма грани, противоположной ортогональному углу. Ортогональным углом называется угол n-симплекса, все прилегающие к которому (n− 1)-мерные грани попарно ортогональны. Теорема де Гуа является частным случаем этой теоремы для 3-симплексов (то есть тетраэдров), а теорема Пифагора — для 2-симплексов (обычных плоских треугольников).

Доказательства

Доказательство № 1

Выразим ребра DA, DB и DC прямоугольного тетраэдра через единичные координатные векторы ${\vec {e}}_{1}$, ${\vec {e}}_{2}$ и ${\vec {e}}_{3}$:

$DA=a{\vec {e}}_{1};\quad DB=b{\vec {e}}_{2};\quad DC=c{\vec {e}}_{3},$

где $a,b,c$ — длины соответствующих сторон тетраэдра.

Для векторов AB и АС имеем:

$AB=b{\vec {e}}_{2}-a{\vec {e}}_{1};\quad AC=c{\vec {e}}_{3}-a{\vec {e}}_{1}.$

Поскольку площадь треугольника равна половине векторного произведения двух его сторон,

$S_{ABC}={\frac {1}{2}}(b{\vec {e}}_{2}-a{\vec {e}}_{1})\times (c{\vec {e}}_{3}-a{\vec {e}}_{1}).$

Возведя последнее выражение в квадрат и раскрыв скобки c учётом того, что попарные векторные произведения единичных координатных векторов равны единице, получим

$S_{ABC}^{2}={\frac {1}{4}}(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}).$

Площади граней ABD, ACD и BCD равны

$S_{ABD}={\frac {ab}{2}};\quad S_{ACD}={\frac {ac}{2}};\quad S_{BCD}={\frac {bc}{2}},$

откуда

$S_{ABC}^{2}=S_{ABD}^{2}+S_{ACD}^{2}+S_{BCD}^{2}.$

Доказательство № 2

Известно, что площадь проекции плоской фигуры на некоторую плоскость равна площади этой фигуры, умноженной на косинус двугранного угла между фигурой и плоскостью проекции. Проекциями треугольника ABC на координатные плоскости являются треугольники ABD, ACD и BCD. Поэтому

$S_{ABD}=S_{ABC}\cos \alpha ;\quad S_{ACD}=S_{ABC}\cos \beta ;\quad S_{BCD}=S_{ABC}\cos \gamma ,$

где $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ — направляющие косинусы нормали к плоскости ABC.

Согласно свойству направляющих косинусов

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1,$

откуда

$S_{ABC}^{2}=S_{ABC}^{2}\cos ^{2}\alpha +S_{ABC}^{2}\cos ^{2}\beta +S_{ABC}^{2}\cos ^{2}\gamma$

и

$S_{ABC}^{2}=S_{ABD}^{2}+S_{ACD}^{2}+S_{BCD}^{2}.$

Доказательство № 3

Теорема может быть доказана, исходя из формулы Герона для площади треугольника и теоремы Пифагора.

История

В 1783 году теорема была представлена Парижской академии наук французским математиком Жаном-Полем де Гуа, однако ранее она была известна Рене Декарту и до него Иоганну Фульгаберу, который, вероятно, первым открыл её в 1622 году. В более общем виде теорему сформулировал Шарль Тинсо в докладе Парижской академии наук в 1774 году.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. de Gua's theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Amir-Moéz, A.R.; Byerly, R.E. Pythagorean theorem in unitary spaces. — Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat., 7 (1996), 85–89.
• Cho, E.C. Pythagorean theorems on rectangular tetrahedron. — Appl. Math. Lett., vol. 4 (1991), no. 6, 37–38.
• Czyżewska, K. Generalization of the Pythagorean theorem. — Demonstratio Math., vol. 24 (1991), no. 1-2, 305–310.
• Lin, S-Y T.; Lin, Y-F. The n-Dimensional Pythagorean Theorem. — Linear and multilinear algebra, vol. 26, no. 1/2, 1990
• Yoshinaga, E.; Akiba, S. Very simple proofs of generalized Pythagorean theorem. — Sci. Rep. Yokohama Nat. Univ. Sect. I Math. Phys. Chem., No. 42 (1995), 45–46.
• Peter Wakefield Sault A 3D analogue of Phythagoras's theorem.
• Istvan Meder Pythagorean Theorem in the n-dimensional space
• P. S. Donchian and H. S. M. Coxeter An n-dimensional extension of Pythagoras’ Theorem. Math. Gazette, 19:206, 1935.
• J.-P. Quadrat, J. B. Lassere, and J.-B. Hiriart-Urruty Pythagoras’ theorem for areas. American Mathematical Monthly, 108:549–551, 2001.