Теорема вращения Эйлера (Mykjybg fjgpyunx |wlyjg)

Теорема вращения Эйлера утверждает, что любое движение твёрдого тела в трёхмерном пространстве, имеющее неподвижную точку, является вращением тела вокруг некоторой оси. Таким образом, вращение может быть описано тремя координатами: двумя координатами оси вращения (например, широта и долгота) и углом поворота.

Для заданного угла $\varphi$ и единичного вектора $n$ обозначим $R(\varphi ,n)$ вращение в направлении вектора n против часовой стрелки на угол $\varphi$ . Тогда:

$R(0,n)$ — тождественное отображение для любого $n$
$R(\varphi ,n)=R(-\varphi ,-n)$
$R(\pi +\varphi ,n)=R(\pi -\varphi ,-n)$

Для любого вращения существует единственный угол $\varphi$ , для которого $0\leq \varphi \leq \pi$ , при этом:

$n$ определяется однозначно, если $0<\varphi <\pi$ ;
$n$ любое, $\varphi =0$ ;
$n$ определяется однозначно с точностью до знака, если $\varphi =\pi$ (то есть, вращения $R(\varphi ,\pm n)$ одинаковы).

Геометрия группы вращений

Представление Эйлера позволяет исследовать топологию группы вращений трёхмерного пространства (группы SO(3)). Для этого рассмотрим шар с центром в начале координат с радиусом π.

Любое вращение на угол, меньший π, задаёт единственную точку внутри шара (направление задаёт направление оси вращения, а угол задаёт расстояние от начала координат). Вращение на угол π соответствует двум противоположным точкам на поверхности сферы.

Таким образом, шар с отождествлёнными противоположными точками сферы гомеоморфен группе SO(3).

См. также