Теорема Эйлера о четырёхугольниках (Mykjybg |wlyjg k cymdj~]rikl,untg])

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Эйлера о четырёхугольниках (также закон Эйлера для четырёхугольников) — теорема планиметрии, названная в честь Леонарда Эйлера (1707—1783 гг.), которая описывает соотношение между сторонами выпуклого четырёхугольника и его диагоналями. Теорема является обобщением тождества параллелограмма, которое, в свою очередь, можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора; поэтому иногда используется название теорема Эйлера — Пифагора.

Теорема и специальные случаи

[править | править код]

Для выпуклого четырёхугольника со сторонами и диагоналями и , середины которых соединены отрезком , выполняется равенство:

Если четырёхугольник является параллелограммом, то средние точки диагоналей совпадают и соединяющий их отрезок имеет длину, равную 0. Кроме того, у параллелограмма длины параллельных сторон равны, так что в таком случае теорема Эйлера сводится к формуле:

каковая называется тождеством параллелограмма.

Если четырёхугольник является прямоугольником, то равенство ещё более упрощается, поскольку теперь две диагонали равны:

Деление на 2 даёт теорему Эйлера — Пифагора:

Другими словами: для прямоугольника отношение сторон четырёхугольника и его диагоналей описывается теоремой Пифагора[1].

Альтернативные формулировки и расширения

[править | править код]
Теорема Эйлера для параллелограмма

Эйлер вывел вышеописанную теорему как следствие другой теоремы, которая, с одной стороны, менее элегантна, так как требует добавления ещё одной точки, но, с другой стороны, даёт большее понимание свойств четырёхугольника.

Для заданного выпуклого четырёхугольника Эйлер ввёл дополнительную точку , такую, что образует параллелограмм; тогда выполняется следующее равенство:

Расстояние между дополнительной точкой и точкой четырёхугольника, соответствует отрезку, который не являются частью параллелограмма. Длину этого отрезка можно рассматривать как меру отличия рассматриваемого четырёхугольника от параллелограмма, или, другими словами, как меру правильности члена в исходном равенстве тождества параллелограмма[2].

Поскольку точка является серединой отрезка , то получаем . Точка является серединой отрезка , и она также является серединой отрезка , поскольку и являются диагоналями параллелограмма . Отсюда получаем , и, следовательно, . Из теоремы Фалеса (и обратной) следует, что и параллельны. Тогда , откуда и следует теорема Эйлера[2].

Теорему Эйлера можно расширить на множество четырёхугольников, которре включает пересекающиеся и непланарные. Она выполняется для так называемых обобщённых четырёхугольников, которые состоят из четырёх произвольных точек в пространстве , связанных рёбрами с образованием графа-цикла[3].

Примечания

[править | править код]
  1. Debnath, 2010, с. 105–107.
  2. 1 2 Haunsperger, Kennedy, 2006, с. 137–139.
  3. Kandall, 2002, с. 403–404.

Литература

[править | править код]
  • Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy. The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons. — MAA, 2006. — С. 137–139. — ISBN 9780883855553.
  • Lokenath Debnath. The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute. — World Scientific, 2010. — С. 105–107. — ISBN 9781848165267.
  • C. Edward Sandifer. How Euler Did It. — MAA, 2007. — С. 33–36. — ISBN 9780883855638.
  • Geoffrey A. Kandall. Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals // The College Mathematics Journal. — 2002. — Ноябрь (т. 33, № 5). — С. 403–404.
  • Dietmar Herrmann. Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen. — Springer, 2013. — С. 418. — ISBN 9783642376122.