Теорема Шпильрайна (Mykjybg Ohnl,jgwug)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Шпильрайна — одна из центральных теорем теории упорядоченных множеств, впервые сформулированная и доказанная польским математиком Эдвардом Шпильрайном в 1930 году.

Формулировка

[править | править код]

Любое отношение частичного порядка , заданное на некотором множестве , может быть продолжено до отношения линейного порядка.

Доказательство

[править | править код]

Доказательство теоремы основано на применении аксиомы выбора (леммы Куратовского — Цорна).

Обобщения и усиления

[править | править код]

Теорема Душника — Миллера

[править | править код]

Бен Душник и Б. У. Миллер доказали, что каждое отношение частичного порядка является пересечением содержащих его отношений линейного порядка.

Случай групп

[править | править код]

Обобщения теоремы Шпильрайна на случай, когда отношения частичного порядка и продолжающие их отношения линейного порядка, согласованы с алгебраическими операциями групп, колец и других алгебраических систем, на которых заданы эти отношения, рассматривались венгерским математиком Ласло Фуксом. В частности, теорема Фукса гласит, что частичный порядок группы тогда и только тогда может быть продолжен до линейного порядка группы , когда он удовлетворяет следующему условию:

для каждого конечного множества элементов в () можно так подобрать знаки ( или ), что

Здесь

 — инвариантная подполугруппа, порожденная элементами ,
 — положительный конус отношения .

Частичный порядок абелевой группы может быть продолжен до линейного тогда и только тогда, когда она без кручения, то есть все её элементы, кроме нейтрального, бесконечного порядка.

Теорема Душника — Миллера в этом случае обобщается следующим образом: частичный порядок группы тогда и только является пересечением линейных порядков, когда из следует, что для каждого конечного множества элементов в () существуют такие подходящие знаки ( или ), что

Частичный порядок абелевой группы является пересечением линейных порядков тогда и только тогда, когда изолирован, то есть из для некоторого натурального числа следует .

Случай векторных пространств

[править | править код]

Любое отношение частичного порядка, заданное на векторном пространстве и согласованное с его структурой, может быть продолжено до согласованного отношения линейного порядка.

  • Шпильрайн, Е. (1930), "Sur l'extension de l'ordre partiel", Fundamenta Mathematicae, 16: 386—389, ISSN 0016-2736 Архивная копия от 6 февраля 2012 на Wayback Machine.
  • Dushnik, Ben; Miller, E. W. (1941), "Частично упорядоченные множества", American Journal of Mathematics, 63 (3): 600–610, doi:10.2307/2371374, ISSN 0002-9327, MR: 0004862.
  • Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М.: Мир, 1965. — 342 с.