Теорема Шварца о дуге (Mykjybg Ofgjeg k ;riy)

Теорема Шварца о дуге даёт ограничения на длину дуги с кривизной не превышающей определённого значения. Теорема приписывается Герману Шварцу, в честь которого и названа. ^[1] ^[2] ^[3] ^[4]

Формулировка

Предположим, что пара точек $p$ и $q$ разбивает единичную окружность на две дуги с длинами $\ell \leq L$ . Тогда любая кривая кривизны не больше 1, соединяющая точки $p$ и $q$ , имеет длину либо не больше $\ell$ , либо не меньше $L$

Вариации и обобщения

Лемма о луке доказанная Акселом Шуром^[англ.] появилась как обобщение теоремы Шварца.^[5]

Примечания

↑ W. Blaschke, Vorlesungen uber Differentialeometrie, Vol. 1, third revised edition 1945,Dover, New York, pg. 63.
↑ S. S. Chern, Differential Geometry, Mimeographed notes—University of Chicago, 1954.
↑ E. Schmidt, Uber das eoctremum der Bogenldnge einer raumkurve bei vorgeschreibeneneinschrdnkungen ihrer krummung, Sitzungsberichte Akad. Berlin (1925), 485-490.
↑ A. Schur, Uber die Schwarzsche extremaleigenschaft des kreises unter den kurvenkonstanter Krummung, Mathematische Annalen, 83 (1921), 143-148.
↑ Schur, Axel; Über die Schwarzsche Extremaleigenschaft des Kreises unter den Kurven konstanter Krümmung. Math. Ann. 83 (1921), no. 1-2, 143–148.

[1] W. Blaschke, Vorlesungen uber Differentialeometrie, Vol. 1, third revised edition 1945,Dover, New York, pg. 63.

[2] S. S. Chern, Differential Geometry, Mimeographed notes—University of Chicago, 1954.

[3] E. Schmidt, Uber das eoctremum der Bogenldnge einer raumkurve bei vorgeschreibeneneinschrdnkungen ihrer krummung, Sitzungsberichte Akad. Berlin (1925), 485-490.

[4] A. Schur, Uber die Schwarzsche extremaleigenschaft des kreises unter den kurvenkonstanter Krummung, Mathematische Annalen, 83 (1921), 143-148.

[5] Schur, Axel; Über die Schwarzsche Extremaleigenschaft des Kreises unter den Kurven konstanter Krümmung. Math. Ann. 83 (1921), no. 1-2, 143–148.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]