Теорема Харди — Рамануджана (Mykjybg }gj;n — Jgbgur;'gug)
В математике теорема Харди — Рамануджана[1] утверждает, что скорость роста числа различных простых делителей числа определяется функцией повторного логарифма — , а «разброс» числа делителей — квадратным корнем этой функции.
Теорема[править | править код]
Пусть действительная функция такова, что , и пусть — число натуральных чисел , для которых выполнено следующее неравенство
или более традиционно
- , где
Тогда
Простое доказательство этой теоремы нашел Пал Туран.
Обобщения и усиления[править | править код]
Такой же результат верен и для числа всех простых сомножителей в разложении числа .
Эта теорема обобщается теоремой Эрдёша — Каца, в которой доказывается, что распределение различных простых делителей натуральных чисел является нормальным со «средним» и «дисперсией» равными . Таким образом, имеется некоторая связь между распределением числа простых делителей и предельными законами теории вероятностей — центральной предельной теоремой и законом повторного логарифма.
Примечания[править | править код]
- ↑ Hardy, G. H.; Ramanujan, S. (1917), "The normal number of prime factors of a number", Quarterly Journal of Mathematics, 48: 76—92 Архивная копия от 21 мая 2013 на Wayback Machine