Теорема Софи Жермен (Mykjybg Vksn "yjbyu)

Исследуя Великую теорему Ферма, Софи Жермен доказала следующую теорему:

Если $p$ — простое число, а для простого числа $q$ верны следующие 2 условия:

1). Среди остатков от деления $p$-ых степеней на $q$ нет соседних, кроме нуля и единицы.

2). Число $p$ не является $p$-ой степенью по модулю $q$.

Тогда для показателя $p$ справедлив первый случай теоремы Ферма (уравнение $x^{p}+y^{p}=z^{p}$ неразрешимо в натуральных $x,y,z$, где $xyz$ не делится на $p$)

В частности, если $p$ и $2p+1$ просты (при этом $p$ называется числом Софи Жермен), то для $p$ справедлив первый случай теоремы Ферма.

Доказательство

Пусть $x^{p}+y^{p}=z^{p}$, но $x,y,z$ взаимно просты с q. Тогда найдём такое $n,$ для которого $nx\equiv 1({\bmod {q}}).$ При этом $(nx)^{p}+(ny)^{p}=(nz)^{p},$ и $(nz)^{p}\equiv (ny)^{p}+1,$ и $x,y$ или $z$ делятся на $q.$

Полезно иметь в виду, что любая $p$-ая степень $\xi$ по модулю $q=2mp+1$ удовлетворяет сравнению

$\xi ^{2m}\equiv 1{\pmod {p}}$

Действительно, если $\xi =a^{l}{\pmod {p}}$, где $a\not \equiv 0{\pmod {p}}$, то по малой теореме Ферма $\xi ^{2m}\equiv a^{2ml}\equiv a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$

При $m=1$ для любого простого $p$ существует только 2 несравнимых числа ξ , удовлетворяющих сравнению $\xi ^{2}\equiv 1{\pmod {p}}$, а именно числа $1$ и $-1\equiv p-1{\pmod {p}}$

Поскольку 1 и -1 не являются соседними $l$-ыми степенями по модулю $p$, следовательно Условие 2 для $m=1$ выполняется автоматически

Поскольку $l^{2}-1=(l+1)(l-1)$ не может делиться на простое число $2l+1>l+1$, то при $m=1$ Условие 3 также выполнено

Следствие Лежандра.

Первый случай теоремы Ферма справедлив для простого показателя $l$, если хотя бы одно из пяти чисел:

$4l+1,8l+1,10l+1,14l+1,16l+1$

является простым числом

Следствие Вендта.

Первый случай теоремы Ферма справедлив для простого показателя $l$, если существует такое $m\geq 1$, что:

1). Число $p=2ml+1$ является простым числом, не делящим числа $D_{m}$

2). Число $l^{2m}-1$ не делится на $p$

Число $D_{m}$ допускает 3 равнозначных определения:

а). $D_{m}=(-1)^{m}\prod _{j=1}^{2m-1}[(1+\xi ^{j})-1]$, где $\xi =\cos {\pi \over m}+i\sin {\pi \over m}$

б). $D_{m}$ является определителем матрицы:

$\left({\begin{smallmatrix}C_{1}^{2m}&C_{2}^{2m}&...&C_{2m-1}^{2m}&C_{2m}^{2m}\\C_{2}^{2m}&C_{3}^{2m}&...&C_{2m}^{2m}&C_{1}^{2m}\\...&...&...&...&...\\C_{2m}^{2m}&C_{1}^{2m}&...&C_{2m-2}^{2m}&C_{2m-1}^{2m}\end{smallmatrix}}\right)$

в). $D_{m}$ представляет собой т.н. результант многочленов $x^{2m}-1$ и $(x+1)^{2m}-1$

Итальянские историки математики А. Чентина и А. Фьокка, исследовавшие письменное наследие С. Жермен, пришли к выводу, что её вклад в доказательство большой теоремы Ферма не ограничивается только теоремой Жермен, а простирается намного дальше.