Теорема Сильвестра (Mykjybg Vnl,fyvmjg)
Теорема Сильвестра — классический результат комбинаторной геометрии о конфигурациях прямых на плоскости.
Формулировка
[править | править код]На плоскости дано конечное число точек, причём такое, что любая прямая, проходящая через две из данных точек, содержит ещё одну данную точку. Тогда все данные точки лежат на одной прямой.
О доказательствах
[править | править код]Теорема Сильвестра знаменита тем, что её довольно сложно доказать напрямую и при этом простое доказательство состоит в переходе к её двойственной переформулировке:
Если на плоскости дано такое конечное множество прямых, что через любую точку пересечения двух данных прямых проходит еще одна из них, то все они проходят через одну точку или параллельны. |
Доказательство двойственной переформулировки
[править | править код]Пусть одна из данных прямых не проходит через одну из точек пересечения . Найдём точку пересечения и прямую, для которых расстояние меньше, чем от до . Поскольку число пересечений конечно, это даст противоречие. Случай, когда через проходит прямая, не параллельная , изображён на рисунке. Если же проходящая через третья прямая параллельна прямой , то рассмотрим треугольник , средние линии которого образуют треугольник , где и — точки пересечения двух проходящих через прямых с прямой . Если третья проходящая через прямая не пересекает отрезок , то расстояние от точки до неё меньше, чем до . Аналогично, если третья проходящая через прямая не пересекает отрезок , то расстояние от точки до неё меньше, чем до . Если же третья проходящая через прямая пересекает отрезок и третья проходящая через прямая пересекает отрезок , то возникает точка пересечения этих прямых. Если она не совпадает с , то она ближе к прямой , чем . Если же она совпадает с , то применим вышеприведённое рассуждение к ней и прямой . Возникнет треугольник , средние линии которого образуют треугольник . Заменяя теперь в наших рассуждениях треугольник на треугольник и действуя далее аналогично, получаем противоречие с конечностью множества. ■
Прямое доказательство
[править | править код]Прямое доказательство было найдено с полувековым запозданием Келли[англ.].
Допустим неколлинеарность точек данного множества. Выбираем пару: его точка и прямая , для которой расстояние от до минимальное положительное; такая пара существует ввиду конечности множеств точек и соединительных прямых. Отмечаем на три точки: , и из данного множества. Пусть точка есть основание перпендикуляра, опущенного из на . Не умаляя общности, можно считать, что точки , и следуют на в указанном порядке; при этом точки и могут совпадать. Тогда расстояние от точки до прямой положительно и меньше, чем от до . Противоречие. ■
Замечание
[править | править код]Поскольку в доказательстве никак не используется условие, что все точки лежат в плоскости, теорема Сильвестра распространяется на множества в евклидовом пространстве произвольной размерности.
См. также
[править | править код]Литература
[править | править код]- Айгнер М. Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней. — Издательство «Лаборатория знаний» (ранее «БИНОМ. Лаборатория знаний»), 2014. — ISBN 978-5-9963-2736-2. (Глава 10).