Теорема Реллиха (Mykjybg Jylln]g)
В математическом анализе и дифференциальном исчислении теорема Реллиха — теорема о целых решениях дифференциального уравнения, доказанная в 1940 году Францем Реллихом.
Формулировка
[править | править код]
Пусть в дифференциальном уравнении правая часть является всюду сходящимся степенным рядом по (целой функцией). Если имеется два решения и , которые являются целыми функциями , то любое другое целое решение имеет вид при надлежащим образом выбранной константе . Если не является линейной функцией , то имеется не более чем счётное число констант , при которых выражение является решением и множество не может иметь конечной предельной точки. |
Последнее утверждение допускает обращение: всегда существует нелинейное дифференциальное уравнение с целой правой частью, имеющее бесконечную серию целых решений при любых заданных , не равных друг другу ни при каком значении , и любом наборе чисел (имеющих предельную точку разве лишь на бесконечности).
Следствия
[править | править код]Следствием теоремы Реллиха является то, что общее решение нелинейного уравнения с целой правой частью не может быть целой функцией от t, в то время как всякое линейное дифференциальное уравнение с целыми коэффициентами всегда имеет целое общее решение.
Ссылки
[править | править код]- Rellich, Fr. Ueber die ganzen Loesungen einer gewoehnlichen Differentialgleichung erster Ordnung (нем.) // Math. Ann.. — 1940. — Т. 117. — С. 587—589.
- Виттих Г. Глава V. Приложения к обыкновенным дифференциальным уравнениям // Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям. — М.: Физматлит, 1960. — С. 114.