Теорема Пэли — Винера (Mykjybg Hzln — Fnuyjg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Пэли — Винера —(англ. Paley–Wiener theorem) совокупность всех целых функций экспоненциального типа , для которых совпадает с множеством функций , допускающих представление , где .

Целой функцией экспоненциального типа называется целая функция , которая при любом удовлетворяет неравенству вида , где числа A, B от z не зависят. Экспоненциальным типом функции называется точная нижняя грань значений константы B, при котором имеет место это неравенство. Экспоненциальный тип находится по формуле . Под понимают совокупность всех измеримых в интервале функций, квадрат модуля которых интегрируем в смысле Лебега.

Теорема Пэли — Винера — Шварца для обобщенных функций

[править | править код]

Если обобщенная функция сосредоточена в области , то её преобразованием Фурье является целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типа . Наоборот, пусть  — целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типа , которая возрастает при не быстрее некоторой степени , и  — соответствующий этой функции функционал в пространстве . Тогда преобразование Фурье функционала сосредоточено в области .

Литература

[править | править код]
  1. Норберт Винер «Я-математик», М., 1964 г., 356 стр., тир. 50000 экз., В 48 51 (09) УДК 510 (092), гл. 8 «Снова дома 1932—1933», с. 160—168;
  2. Винер Н., Пэли Р. «Преобразование Фурье в комплексной области», М., Наука, 1964;
  3. Н. И. Ахиезер «Лекции по теории аппроксимации», изд. 2-е, М., «Наука», 1965, 517.2 А 95 УДК 517.51, гл. 4 «Некоторые экстремальные свойства целых функций экспоненциального типа», п. 82 «Теорема Винера-Пэли», с. 179-82;
  4. «Функциональный анализ», изд. 2, ред. С. Г. Крейн, гл. 10 «Обобщенные функции», п. 4 «Преобразование Фурье обобщенных функций», пп 7 «Теорема Пэли-Винера-Шварца», с 511;