Теорема Пуанкаре о векторном поле (Mykjybg Hrgutgjy k fytmkjukb hkly)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Пуанкаре о векторном поле (также известна как теорема Пуанкаре — Хопфа и теорема об индексе) — классическая теорема дифференциальной топологии и теории динамических систем; обобщение и уточнение теоремы о причёсывании ежа.

Из неё, в частности, следует, что на двумерной сфере не существует гладкого векторного поля без особых точек, а на двумерном торе — может существовать.

Формулировка

[править | править код]

Пусть на гладком замкнутом многообразии определено гладкое векторное поле , имеющее конечное число изолированных особых точек . Тогда

здесь  — индекс точки относительно поля и число  — эйлерова характеристика многообразия .

Для случая двумерных многообразий теорема была доказана Пуанкаре в 1885 году. Для многообразий произвольной размерности результат был получен Хопфом в 1926 году[1].

Вариации и обобщения

[править | править код]
  • Аналогичные теоремы были доказаны для векторных полей с неизолированными особыми точками и для многообразий с особенностями[2][3].

Примечания

[править | править код]
  1. Двумерный вариант этой теоремы было доказан Пуанкаре в 1885 г. Полностью теорема была доказана Хопфом в 1926 г., вслед за частичными результатами Брауэра и Адамара. // Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972 (стр. 223).
  2. Jean-Paul Brasselet, José Seade, Tatsuo Suwa. Vector fields on Singular Varieties Архивная копия от 12 июня 2018 на Wayback Machine. Springer, 2009.
  3. Pavao Mardešić. Index of singularities of real vector fields on singular hypersurfaces Архивная копия от 18 июня 2022 на Wayback Machine. Journal of Singularities, vol 9 (2014), 111-121.

Литература

[править | править код]