Теорема Пикара (дифференциальные уравнения) (Mykjybg Hntgjg (;nssyjyuengl,udy rjgfuyunx))
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Теорема Пикара (теорема Пикара — Линделёфа, теорема Коши — Липшица) — основная теорема обыкновенных дифференциальных уравнений; приводит достаточные условия для существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
Формулировка
[править | править код]Пусть — обыкновенное дифференциальное уравнение, где , — векторное поле зависящее от параметра . Если отображение непрерывно и для любого фиксированного , и отображение — липшицево, то для любого существует такое, что на промежутке существует решение уравнения с начальными данными .
Замечания
[править | править код]- Верна также локальная версия теоремы.
О доказательстве
[править | править код]Обычно в доказательстве применяется теорема Банаха о неподвижной точке к интегральной формы уравнения:
Вариации и обобщения
[править | править код]Ссылки
[править | править код]- Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:МЦНМО, 2018—344 с.
- Lindelöf, E. (1894). "Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 118: 454—7. (В этой публикации Э. Линделёф обсуждает обобщение подхода, предложенного ранее Э. Пикаром.)