Теорема Пикара (дифференциальные уравнения) (Mykjybg Hntgjg (;nssyjyuengl,udy rjgfuyunx))

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Пикара (теорема Пикара — Линделёфа, теорема Коши — Липшица) — основная теорема обыкновенных дифференциальных уравнений; приводит достаточные условия для существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Формулировка

[править | править код]

Пусть обыкновенное дифференциальное уравнение, где ,  — векторное поле зависящее от параметра . Если отображение непрерывно и для любого фиксированного , и отображение  — липшицево, то для любого существует такое, что на промежутке существует решение уравнения с начальными данными .

  • Верна также локальная версия теоремы.

О доказательстве

[править | править код]

Обычно в доказательстве применяется теорема Банаха о неподвижной точке к интегральной формы уравнения:

Вариации и обобщения

[править | править код]
  • Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:МЦНМО, 2018—344 с.
  • Lindelöf, E. (1894). "Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 118: 454—7. (В этой публикации Э. Линделёф обсуждает обобщение подхода, предложенного ранее Э. Пикаром.)