Теорема Неймана — Моргенштерна о минимаксе (Mykjybg Uywbgug — Bkjiyuomyjug k bnunbgtvy)

Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории игр, теорема о минимаксе описывает условия, при выполнении которых для функции верно, что Первой теоремой такого рода стала теорема фон Неймана, доказанная в 1928 году. Именно с её доказательства началось развитие теории игр. Впоследствии её неоднократно обобщали и переформулировали[1][2].

Игры с нулевой суммой

[править | править код]
Функция f(x,y)=x2-y2 выпукла по , но вогнута по

Эту теорему впервые доказал в 1928 году Джон фон Нейман[3] [4].

Формально, теорема фон Неймана утверждает, что

Пусть и компактные выпуклые множества. Если функция непрерывна, выпукла в , но вогнута в , т.е.

выпукла при любом заданном , но
вогнута при любом заданном ,

то

Если для конечной матрицы , то

Примечания

[править | править код]
  1. Minimax and Applications. — Boston, MA : Springer US, 1995. — ISBN 9781461335573.
  2. Brandt, Felix; Brill, Markus; Suksompong, Warut (2016). "An ordinal minimax theorem". Games and Economic Behavior. 95: 107—112. arXiv:1412.4198. doi:10.1016/j.geb.2015.12.010.
  3. Von Neumann, J. (1928). "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele". Math. Ann. 100: 295—320. doi:10.1007/BF01448847.
  4. John L Casti. Five golden rules: great theories of 20th-century mathematics – and why they matter. — New York : Wiley-Interscience, 1996. — P. 19. — ISBN 978-0-471-00261-1.