Теорема Кронекера — Капелли (Mykjybg Tjkuytyjg — Tghylln)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы. Была доказана независимо друг от друга Леопо́льдом Кро́некером и Альфре́до Капе́лли.

Название теоремы

[править | править код]

В России это теорема Кронекера — Капелли, в Италии и англоязычных странах — теорема Руше — Капелли, в Испании и странах Латинской Америки — теорема РушеФробениуса.

Система уравнений совместна тогда и только тогда, когда , где — расширенная матрица, полученная из матрицы приписыванием столбца [1].

Доказательство (условия совместности системы)

[править | править код]

Необходимость

[править | править код]

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы её строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

[править | править код]

Пусть . Возьмём в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .

  • Количество главных переменных системы равно рангу системы.
  • Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
  • Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.