Теорема Ковалевской о единственности и локальной разрешимости задачи Коши для системы Ковалевской играет важную роль в теории уравнений в частных производных.
Система уравнений в частных производных с неизвестными функциями
вида
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}(x,t)}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x,u_{i},...,u_{N},...,{\frac {\partial ^{a}u_{j}}{\partial t^{a_{0}}\partial x_{1}^{a_{1}}...\partial x_{n}^{a_{n}}}},...\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1523a61e42795db8b44a38dab3a98e5340bcb5d4)
где
,
,
,
,
, то есть число уравнений равно числу неизвестных, называется системой Ковалевской. Независимая переменная
выделяется тем, что среди производных наивысшего порядка
каждой функции системы содержится производная по
порядка
и система разрешена относительно этих производных.
Используется следующее обозначение:
![{\displaystyle D^{a'}\phi _{i}^{k}(x)={\frac {\partial ^{a'}\phi _{i}^{k}(x)}{\partial x_{1}^{a_{1}}...\partial x_{n}^{a_{n}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9a4511da848803084dc5079c611b39f98d4f72)
где
,
,
.
Если все функции
аналитичны в окрестности точки
, а функции
определены и аналитичны в окрестности точки
, то задача Коши имеет аналитическое решение в некоторой окрестности точки
, единственное в классе аналитических функций.
- Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Москва: «Наука», 1981. — С. 78—79. — 512 с.