Теорема Клеро (Mykjybg Tlyjk)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Рисунок 1: Эллипсоид вращения
Рисунок 2: Каркас эллипсоида (сплюснутый сфероид)

Теоре́ма Клеро́ — закон, описывающий зависимость между параметрами сфероида, силой тяжести на его поверхности и коэффициентами разложения гравитационного потенциала. Опубликован в 1743 году французским математиком А. Клеро в работе фр. Théorie de la figure de la Terre, tirée des principes de l'hydrostatique («Теория формы Земли, извлечённая из принципов гидростатики»)[1], где Клеро привёл физические и геодезические доказательства того, что Земля имеет форму сплюснутого эллипсоида вращения[2][3]. Выведенная Клеро закономерность позволяла рассчитать параметры земного эллипсоида на основе измерений силы тяжести на разных широтах.

Формула Клеро для ускорения силы тяжести g на поверхности Земли на широте выглядит следующим образом[4][5]:

где G — значение ускорения силы тяжести на экваторе, m — отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе и f — величина сплюснутости земного эллипсоида, определяемая как:

(где a — большая полуось, b — малая полуось Земли соответственно).

Вышеприведённую формулу Клеро рассматривал как справедливую при условии, что рассматривается гидростатически равновесная модель, где массы распределены в виде тонких сфероидальных слоев[6]. Впоследствии Пьер Лаплас смягчил исходное предположение, предположив, что поверхности равной плотности являются сфероидами[7]. Дж. Стокс в 1849 году показал, что, если известна поверхность планеты, являющаяся поверхностью уровня, которая охватывает все массы, известны также планетоцентрическая гравитационная постоянная и угловая скорость вращения, то гравитационное поле может быть однозначно определено во внешнем пространстве[8].

Реальная форма Земли является результатом взаимодействия между силой тяготения и центробежной силой, вызванной вращением Земли вокруг своей оси[9][10]. В своих «Началах» Исаак Ньютон предложил считать Землю эллипсоидом вращения с коэффициентом сплюснутости f, равным 1/230[11][12]. Применяя теорему Клеро, Лаплас на основе 15 измерений величины силы тяжести получил оценку: F = 1/330. Современная оценка этой величины: 1/298,25642[13].

Уравнение Сомильяны

[править | править код]

Вышеприведённая формула Клеро для расчёта величины земного тяготения впоследствии была заменена более точным уравнением Сомильяны (выведено итальянским математиком Карло Сомильяной[англ.]):

где для Земли: G = 9,7803267714 м/с²; k = 0,00193185138639 ; e = 0,00669437999013[14].

Примечания

[править | править код]
  1. From the catalogue of the scientific books in the library of the Royal Society. Дата обращения: 3 октября 2017. Архивировано 3 июля 2014 года.
  2. Wolfgang Torge. Geodesy: An Introduction. — 3rd. — Walter de Gruyter, 2001. — С. 10. — ISBN 3-11-017072-8. Архивировано 3 июля 2014 года.
  3. Edward John Routh. A Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples (англ.). — Adamant Media Corporation, 2001. — Vol. Vol. 2. — P. 154. — ISBN 1-4021-7320-2. Архивировано 19 апреля 2022 года. A reprint of the original work published in 1908 by Cambridge University Press.
  4. W. W. Rouse Ball[англ.]. A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908). Дата обращения: 30 июля 2015. Архивировано 11 января 2011 года.
  5. Walter William Rouse Ball. A short account of the history of mathematics (англ.). — 3rd. — Macmillan Publishers, 1901. — P. 384.
  6. Poynting, John Henry; Joseph John Thompson. A Textbook of Physics, 4th Ed. — London: Charles Griffin & Co., 1907. — С. 22—23.
  7. Isaac Todhunter. A History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth from the Time of Newton to that of Laplace (англ.). — Elibron Classics. — Vol. Vol. 2. — ISBN 1-4021-1717-5. Архивировано 10 июня 2022 года. Reprint of the original edition of 1873 published by Macmillan and Co.
  8. Теорема Стокса. Дата обращения: 30 июля 2015. Архивировано 4 марта 2016 года.
  9. John P. Vinti, Gim J. Der, Nino L. Bonavito. Orbital and Celestial Mechanics. — American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1998. — С. 171. — (Progress in astronautics and aeronautics, v. 177). — ISBN 1-56347-256-2. Архивировано 16 апреля 2022 года.
  10. Arthur Gordon Webster. The Dynamics of Particles and of Rigid, Elastic, and Fluid Bodies: being lectures on mathematical physics (англ.). — B.G. Teubner, 1904. — P. 468.
  11. Isaac Newton: Principia Book III Proposition XIX Problem III, p. 407 in Andrew Motte translation.
  12. See the Principia on line at Andrew Motte Translation
  13. Table 1.1 IERS Numerical Standards (2003))
  14. Eq. 2.57 in MIT Essentials of Geophysics OpenCourseWare notes. Дата обращения: 6 июля 2020. Архивировано 11 июля 2020 года.