Теорема Каратеодори о продолжении меры (Mykjybg Tgjgmyk;kjn k hjk;kl'yunn byjd)

В теории меры теорема Каратеодори утверждает, что произвольная счётно-аддитивная мера на некотором кольце ${\mathcal {R}}$ подмножеств множества $\Omega$ может быть продолжена на σ-кольцо, порождённое кольцом ${\mathcal {R}}$ . В случае σ-конечности меры такое продолжение является единственным. Из теоремы, в частности, вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега.

Утверждение

Пусть ${\mathcal {R}}$ — кольцо подмножеств множества $\Omega$ с мерой $\mu :{\mathcal {R}}\to [0,+\infty ]$ , а $\sigma ({\mathcal {R}})$ — σ-кольцо, порождённое ${\mathcal {R}}$ . Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера $\mu ':\sigma ({\mathcal {R}})\to [0,+\infty ]$ , являющаяся продолжением меры $\mu$ , то есть, $\mu '|_{\mathcal {R}}=\mu$ . Кроме того, если мера $\mu$ σ-конечна, то такое продолжение $\mu '$ единственно и также σ-конечно.

Полукольцо

В более общем виде такое продолжение существует для меры, заданной на полукольце, то есть семействе подмножеств $S$ , удовлетворяющих следующим условиям:

$\varnothing \in S$ ;
для любых $A,B\in S$ пересечение $A\cap B\in S$ ;
для любых $A,B\in S$ существуют такие попарно непересекающиеся множества $K_{i}\in S$ , где $i=1,2,\ldots ,n$ , что $A\setminus B=\biguplus _{i=1}^{n}{K_{i}}$ .

Однако этот случай легко сводится к предыдущему, поскольку каждое полукольцо $S$ порождает кольцо $R(S)$ , элементами которого являются всевозможные конечные дизъюнктные объединения множеств из $S$ :

R(S)=\{A:A=\biguplus _{i=1}^{n}{A_{i}},A_{i}\in S\}

,

а мера $\mu$ , заданная на полукольце, продолжается на всё кольцо:

\mu (A)=\sum _{i=1}^{n}{\mu (A_{i})}

, где

A=\biguplus _{i=1}^{n}{A_{i}}

,

A_{i}\in S

.

Построение продолжения

Пусть $\mu$ — мера, определённая на кольце ${\mathcal {R}}$ подмножеств множества $\Omega$ . Тогда на подмножествах $A\subset \Omega$ можно определить функцию

\mu ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\mathrm {\mu } \,(E_{k})\,\mid \,E_{k}\in {\mathcal {R}},\,A\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right\}.

Эта функция является внешней мерой, порождённой мерой $\mu$ . Обозначим через ${\mathcal {M}}_{\mu }$ семейство подмножеств $A$ множества $\Omega$ , таких что для всех $E\subset \Omega$ выполняется $\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\setminus A)=\mu ^{*}(E)$ .

Тогда ${\mathcal {M}}_{\mu }$ является σ-кольцом, и на нём можно определить меру ${\overline {\mu }}(A)=\mu ^{*}(A)$ для всех $A\in {\mathcal {M}}_{\mu }$ . Определённая таким образом функция является мерой, которая совпадает с $\mu$ на множествах кольца ${\mathcal {R}}$ . Также ${\mathcal {M}}_{\mu }$ содержит σ-алгебру $\sigma ({\mathcal {R}})$ и сужение ${\overline {\mu }}$ на элементы $\sigma ({\mathcal {R}})$ и будет необходимым расширением меры.

σ-кольцо ${\mathcal {M}}_{\mu }$ является пополнением кольца $\sigma ({\mathcal {R}})$ , соответственно, они совпадают, если определённая мера на $\sigma ({\mathcal {R}})$ является полной.

Примеры

Если на действительной прямой взять полукольцо ${\mathcal {S}}$ интервалов $[a,b]$ , где $a<b$ и мера $[a,b]$ равна $b-a$ , то представленная конструкция дает определение меры Бореля на борелевских множествах $\sigma ({\mathcal {S}})$ . Множеству ${\mathcal {M}}_{\mu }$ здесь соответствует множество измеримых по Лебегу множеств.
Условие σ-конечности является необходимым для единственности продолжения. Например, на множестве $X$ всех рациональных чисел промежутка $[0,1]$ можно задать полукольцо промежутков с рациональными концами $[a,b)$ , где $a<b$ — рациональные числа из промежутка $[0,1]$ . σ-кольцо, порождённое этим полукольцом, является множеством всех подмножеств $X$ . Пусть теперь $\mu (A)$ равно количеству элементов $A$ , а $\mu '(A)=2\mu (A)$ . Тогда обе меры совпадают на полукольце и порождённом кольце (поскольку все непустые множества полукольца и кольца являются бесконечными, то обе меры на всех этих множествах равны $\infty$ ), но не совпадают на порождённом σ-кольце. То есть в данном случае продолжение не является единственным.