Любая целая функция
f
{\displaystyle f}
счётное количество нулей
{
0
}
∪
{
a
n
}
→
∞
{\displaystyle \{0\}\cup \{a_{n}\}\to \infty }
λ
{\displaystyle \lambda }
бесконечного произведения вида
f
(
z
)
=
z
λ
e
h
(
z
)
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
a
n
)
exp
(
z
a
n
+
1
2
(
z
a
n
)
2
+
⋯
+
1
p
n
(
z
a
n
)
p
n
)
{\displaystyle f(z)=z^{\lambda }e^{h(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{p_{n}}\right)}
где
h
{\displaystyle h}
p
n
{\displaystyle p_{n}}
∑
n
=
1
∞
1
p
n
+
1
|
z
a
n
|
p
n
+
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}+1}}\left|{\frac {z}{a_{n}}}\right|^{p_{n}+1}}
сходился при всех
z
{\displaystyle z}
p
n
=
0
{\displaystyle p_{n}=0}
n экспонента опускается (считается равной
exp
(
0
)
=
1
{\displaystyle \exp(0)=1}
На случай кратных корней эта теорема обобщается следующим образом. Самым общим выражением для целой функции
f
{\displaystyle f}
z
=
a
k
{\displaystyle z=a_{k}}
a
k
→
∞
{\displaystyle a_{k}\to \infty }
n
k
{\displaystyle n_{k}}
f
(
z
)
=
z
n
0
e
h
(
z
)
∏
k
=
1
∞
{
(
1
−
z
a
k
)
exp
(
z
a
k
+
1
2
(
z
a
k
)
2
+
⋯
+
1
p
k
(
z
a
k
)
p
k
)
}
n
k
{\displaystyle f(z)=z^{n_{0}}e^{h(z)}\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1-{\frac {z}{a_{k}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{k}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{k}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{k}}}\left({\frac {z}{a_{k}}}\right)^{p_{k}}\right)\right\}^{n_{k}}}
где
h
{\displaystyle h}
p
n
{\displaystyle p_{n}}
∑
k
=
1
∞
n
k
p
k
+
1
|
z
a
k
|
p
k
+
1
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {n_{k}}{p_{k}+1}}\left|{\frac {z}{a_{k}}}\right|^{p_{k}+1}}
сходился при всех
z
{\displaystyle z}
Разложение синуса и косинуса в бесконечное произведение.
sin
π
z
=
π
z
∏
n
≠
0
(
1
−
z
n
)
e
z
/
n
=
π
z
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
n
2
)
{\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}
cos
π
z
=
∏
q
∈
Z
,
q
odd
(
1
−
2
z
q
)
e
2
z
/
q
=
∏
n
=
0
∞
(
1
−
4
z
2
(
2
n
+
1
)
2
)
{\displaystyle \cos \pi z=\prod _{q\in \mathbb {Z} ,\,q\;{\text{odd}}}\left(1-{\frac {2z}{q}}\right)e^{2z/q}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n+1)^{2}}}\right)}
Данная теорема, как и теорема Миттаг-Леффлера , представляет собой обобщение известного свойства — разложения многочленов на сомножители — на случай целых функций.
Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М., 1968. Стр. 125 и сл.Rüchs F. Funktionentheorie. Berlin, 1962. Стр. 200.Фукс Б. А. , Шабат Б. В. 
