Теорема Бруна — Тичмарша (Mykjybg >jrug — Mncbgjog)

Теорема Бруна — Тичмарша — утверждение аналитической теории чисел, определяющее верхнюю границу^[англ.] распределения арифметических прогрессий из простых чисел. Носит имя математиков Вигго Бруна и Эдварда Чарльза Тичмарша^[англ.].

Теорема утверждает, что если $\pi (x;q,a)$ равно числу простых чисел $p$ , сравнимых с $a$ по модулю $q$ при $p\leqslant x$ , то:

\pi (x;q,a)\leqslant {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}

для всех $q<x$ .

История

Теорема доказана с помощью методов просеивания^[англ.] Монтгомери и Воном в 1973 году^[1]. Более ранний результат Бруна и Тичмарша является более слабой версией этого неравенства (с дополнительным множителем $1+o(1)$ ).

Усиления

Если $q$ относительно мало, то есть, $q\leqslant x^{9/20}$ , то существует граница лучше:

\pi (x;q,a)\leqslant {(2+o(1))x \over \varphi (q)\ln(x/q^{3/8})}

Это показал Мотохаси^[2], использовавший билинейную структуру в остаточном члене решета Сельберга (Selberg), открытую им самим. Позднее идея использования структур в остаточном члене решета, благодаря расширениям комбинаторного решета Иванцем (H. Iwaniec), развита до основного метода аналитической теории чисел.

Сравнение с теоремой Дирихле

В отличие от теоремы Бруна — Тичмарша теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии даёт асимптотическую оценку, которую можно выразить в форме:

\pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)

,

но эта оценка может быть доказана только при более сильных ограничениях на $q<(\log x)^{c}$ для константы $c$ , и это теорема Зигеля — Волфица^[англ.].

Литература

Yoichi Motohashi. Sieve Methods and Prime Number Theory. — Tata IFR and Springer-Verlag, 1983. — ISBN 3-540-12281-8.
Christopher Hooley. Applications of sieve methods to the theory of numbers. — Cambridge University Press, 1976. — С. 10. — ISBN 0-521-20915-3.
H. Mikawa. Encyclopedia of Mathematics. — Springer. — ISBN 978-1-55608-010-4.
H. L. Montgomery, R. C. Vaughan. The large sieve // Mathematika. — 1973. — Т. 20. — С. 119—134. — doi:10.1112/s0025579300004708.

[_6d3d0336049c78a6-1] Montgomery, Vaughan, 1973.

[_8ae244d70b8750aa-2] Motohashi, 1983.

[1]

[2]