Теорема Бохнера — Хинчина (Mykjybg >k]uyjg — }nucnug)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Бохнера — Хинчина — в теории вероятностей: теорема о необходимых и достаточных условиях для того, чтобы функция была характеристической; в теории случайных процессов: теорема о свойствах корреляционной функции стационарных процессов.

Теория вероятностей

[править | править код]

Формулировка

[править | править код]

Пусть - непрерывная функция и . Для того, чтобы функция была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определённой функцией, то есть при каждом целом для любых вещественных чисел и любых комплексных чисел выполняется неравенство [1].

Здесь означает комплексно сопряжённое к число.

Теория случайных процессов

[править | править код]

Формулировка

[править | править код]

Пусть - стационарный в широком смысле процесс с корреляционной функцией [2].

  • Если - скалярный процесс с дискретным временем, то:

где - неотрицательная неубывающая функция, определяемая по однозначно, если потребовать, чтобы и была непрерывной справа, - действительная четная неубывающая функция ограниченной вариации, - действительная нечетная функция ограниченной вариации.

  • Если - векторный процесс с дискретным временем, то для имеет место представление как для скалярного процесса с дискретным временем, где - матрица, приращения которой эрмитовы и неотрицательно определены, - вещественная симметричная матрица, приращения которой неотрицательно определены, - вещественная кососимметрическая матрица. Матрица определяется однозначно по , если потребовать, чтобы (нулевая матрица) и была непрерывной справа (в смысле поэлементной сходимости).
  • Если - скалярный процесс с непрерывным временем, то:

где функции определяются так же, как в случае скалярного процесса с дискретным временем, за исключением условия .

  • Если - векторный процесс с непрерывным временем, то для имеют место представления как в случае скалярного процесса с непрерывным временем, где матрицы определяются так же, как в случае векторного процесса с дискретным временем, за исключением условия (нулевая матрица).

Примечания

[править | править код]
  1. Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М., Наука, 1985. — с. 65
  2. Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М., Наука, 1985. — с. 245-246