Теорема Бендиксона об отсутствии замкнутых траекторий (Mykjybg >yu;ntvkug kQ kmvrmvmfnn [gbturmd] mjgytmkjnw)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Бендиксона утверждает, что если дивергенция векторного поля на плоскости (или двумерном многообразии) знакопостоянна и отлична от нуля в некоторой односвязной области, то отсутствуют замкнутые фазовые кривые этого поля, целиком лежащие в этой области. В частности, признак позволяет показать, что в области отсутствуют предельные циклы.

Теорема Бендиксона является частным случаем критерия Дюлака.

Строгая формулировка

[править | править код]

Рассмотрим векторное поле , заданное в некоторой односвязной области . Допустим, что во всей области дивергенция поля не меняет знак и отлична от нуля. Тогда фазовые кривые автономного дифференциального уравнения не имеют замкнутых траекторий, целиком лежащих в .

Не ограничивая общности, в дальнейшем будем считать, что дивергенция имеет положительный знак. Если поле записывается в координатах как , то условие теоремы записывается в виде

для всех .

Доказательство

[править | править код]

Будем рассуждать от противного. Предположим, что существует замкнутая траектория . Рассмотрим поток поля через контур :

Поскольку поле касается контура, этот поток равен нулю. С другой стороны, согласно формуле Грина, этот поток равен интегралу от дивергенции поля по области , ограниченной и лежащей в в силу односвязности последней:

Последнее неравенство справедливо в виду знакопостоянства подынтегрального выражения. Противоречие доказывает теорему.

Литература

[править | править код]
  • Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Справочное пособие по высшей математике. Т. 5. М.: Эдиториал УРСС, 2001., с. 306.