Теорема Барбье (Mykjybg >gjQ,y)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Барбье́ — теорема французского астронома и математика Ж. Барбье[фр.], описывающая длину кривых постоянной ширины. Сформулирована и доказана Барбье в 1860 году.

Формулировка

[править | править код]

Длина любой кривой постоянной ширины равна .

Доказательства

[править | править код]

Существует несколько доказательств теоремы Барбье:

  • Основанное на теории вероятностей или формуле Крофтона. Барбье доказал теорему, обобщающую известный ответ в задаче Бюффона о бросании иглы. Он показал, что при бросании выпуклой фигуры на плоскость, расчерченную линиями на расстоянии друг от друга, если фигура не может пересечь более одной из этих линий, то вероятность, что фигура пересечёт одну из линий, оказывается равной , где — периметр этой фигуры[2][3]. Поскольку фигура постоянной ширины удовлетворяет условию этой теоремы для , а вероятность пересечения в этом случае равна единице, её периметр должен равняться .[4]

Вариации и обобщения

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. Bogomolny A. The Theorem of Barbier (англ.). Cut The Knot. Дата обращения: 22 сентября 2011. Архивировано 4 февраля 2012 года.
  2. Barbier E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert (фр.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Vol. 5. — P. 273—286. (недоступная ссылка)
  3. Seneta Е., Parshall K. H., Jongmans F. Nineteenth-Century Developments in Geometric Probability: J. J. Sylvester, M. W. Crofton, J.-É. Barbier, and J. Bertrand (англ.) // Archive for History of Exact Sciences. — 2001. — Vol. 55, no. 6. — P. 501-524. — doi:10.1007/s004070100038.
  4. Bogomolny A. Math Surprises: An Example (англ.). Cut The Knot. Дата обращения: 22 сентября 2011. Архивировано 4 февраля 2012 года.

Литература

[править | править код]
  • Barbier E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert (фр.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Vol. 5. — P. 273—286. (недоступная ссылка)
  • Bogomolny A. The Theorem of Barbier (англ.). Cut the Knot. Дата обращения: 22 сентября 2011. Архивировано 4 февраля 2012 года.
  • Barbier theorem // Encyclopaedia of Mathematics. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 1-4020-0609-8.  (англ.)
  • Weisstein, Eric W. Barbier's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.