Сферический дизайн (Vsyjncyvtnw ;n[gwu)

Сферическая дизайн — набор из $N$ точек на d-мерной сфере $\mathbb {S} ^{d}$, такой, что среднее значение любого многочлена $f$ степени $t$ или меньше по точкам набора равно среднему значению $f$ по сфере. Эта конструкция даёт особый тип кубатурных формул.

Сферические дизайны полезны в теории приближений, в статистике для проектирования экспериментов, в комбинаторике и в геометрии. Основная вопрос в нахождении примеров для данных $d$ и $t$, при не слишком большом $N$.

Существование

Существование и структура дизайнов на окружности изучались Хонгом. Вскоре после этого Сеймур и Заславский доказали, существование дизайнов с достаточно большим числом точек. То есть при заданных натуральных числах $d$ и $t$ существует число $N(d,t)$, такое, что для каждого $N\geqslant N(d,t)$ на $\mathbb {S} ^{d}$ найдётся сферический $t$-дизайн из $N$ точек. Однако их доказательство не позволяло явно оценить значение $N(d,t)$.

В 2013 году Бондаренко, Радченко и Вязовская получили асимптотическую верхнюю границу $N(d,t)<C_{d}t^{d}$ для всех натуральных чисел $d$ и $t$. Она соответствует нижней границе, первоначально заданной Дельсартом, Геталсом и Зайделем.

См. также

• Задача Томсона

Внешние ссылки

• Сферические t-дизайны для различных значений $N$ и $t$ можно найти на веб-сайте Нила Слоуна и Роберта Уомерсли.

Ссылки

• Bondarenko, Andriy; Radchenko, Danylo; Viazovska, Maryna (2013), "Optimal asymptotic bounds for spherical designs", Annals of Mathematics, Second Series, 178 (2): 443—452, arXiv:1009.4407, doi:10.4007/annals.2013.178.2.2, MR 3071504, S2CID 2490453.
• Mimura, Yoshio (1990), "A construction of spherical 2-design", Graphs and Combinatorics, 6 (4): 369—372, doi:10.1007/BF01787704, S2CID 28942727.
• Delsarte, P.; Goethals, J. M.; Seidel, J. J. (1977), "Spherical codes and designs", Geometriae Dedicata, 6 (3): 363—388, doi:10.1007/BF03187604, MR 0485471, S2CID 125833142. Reprinted in Seidel, J. J. (1991), Geometry and combinatorics: Selected works of J. J. Seidel, Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-189420-7, MR 1116326.
• Hong, Yiming (1982), "On spherical t-designs in $\mathbb {R} ^{2}$", European Journal of Combinatorics, 3 (3): 255—258, doi:10.1016/S0195-6698(82)80036-X, MR 0679209 {{citation}}: templatestyles stripmarker в |title= на позиции 14 (справка).
• Seymour, P. D.; Zaslavsky, Thomas (1984), "Averaging sets: a generalization of mean values and spherical designs", Advances in Mathematics, 52 (3): 213—240, doi:10.1016/0001-8708(84)90022-7, MR 0744857.