Суперэллипсоид (Vrhyjzllnhvkn;)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/41/Collection_of_nine_narrow_super_ellipse_shapes.svg/320px-Collection_of_nine_narrow_super_ellipse_shapes.svg.png)
Суперэллипсоид — геометрическое тело, поперечными сечениями которого являются суперэллипсы (кривые Ламе) с одним и тем же показателем степени r, а вертикальные сечения — суперэллипсы с одним и тем же показателем степени t[1][2]. Некоторые суперэллипсоиды являются суперквадриками, однако ни одно из этих семейств не является подмножеством другого.
Частным случаем суперэллипсоида является суперъяйцо, популяризованное Питом Хейном.
Математическое описание
[править | править код]Базовая форма
[править | править код]Базовый суперэллипсоид определяется уравнением
Параметры r и t — положительные действительные числа, которые определяют форму фигуры, в частности — степень плоскостности полюсов и экватора. Когда t = r, суперэллипс становится частным случаем суперквадрики.
Любая параллель (горизонтальное сечение) суперэллипсоида плоскостью z = b, где -1 < b < +1, является кривой Ламе с показателем степени r, и масштабным коэффициентом
Любой меридиан (сечение плоскостью, проходящей через ось симметрии) также является кривой Ламе с показателем степени t и вытянутой в горизонтальном направлении с коэффициентом w, зависящим от положения секущей плоскости. Именно, если x = u cos θ и y = u sin θ при фиксированном θ, то
где
В частности, если r = 2, горизонтальные сечения являются кругами, а w = 1 для всех секущих плоскостей. В этом случае суперэллипсоид является телом вращения, полученной вращением кривой Ламе с показателем степени t вокруг вертикальной оси.
Базовый суперэллипсоид располагается в пространстве внутри куба, где значения каждой из трёх координат лежат в пределах от −1 до +1. Суперэллипсоид общего вида получается масштабированием базового суперэллипсоида по координатным осям с коэффициентамиA, B, C, которые являются полуосями получившегося суперэллипсоида. Уравнение суперэллипсоида общего вида
Принимая r = 2, t = 2,5, A = B = 3, C = 4, получим суперъяйцо Пита Хейна.
Суперэллипсоид общего вида представляется в параметрическом виде через параметры u and v (долгота и широта)[2]:
где
Объём суперэллипсоида выражается формулой
Примечания
[править | править код]См. также
[править | править код]Ссылки
[править | править код]- Jaklič, A., Leonardis, A., Solina, F., Segmentation and Recovery of Superquadrics. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000.
- Bibliography: SuperQuadric Representations
- Superquadric Tensor Glyphs Архивная копия от 4 февраля 2012 на Wayback Machine
- SuperQuadric Ellipsoids and Toroids, OpenGL Lighting, and Timing
- Superquadratics by Robert Kragler, The Wolfram Demonstrations Project.