Суперкорень (Vrhyjtkjyu,)

В математике суперко́рень — это одна из двух обратных функций тетрации.

Так же как возведение в степень имеет две обратных функции (корень и логарифм), так и тетрация имеет две обратных функции: суперкорень и суперлогарифм. Это обусловлено некоммутативностью гипероператора при $N>2$ . Суперкорень не является элементарной функцией.

Определение

Для любого неотрицательного целого числа $n\geqslant 0$ суперкорень $n$ -ой степени из $a>0$ можно определить, как одно из решений уравнения: ${}^{n}x=a$ .

Суперкорень — неоднозначная функция. Так при $n=2$ и $e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant a<1$ уравнение вида ${}^{2}x=a$ имеет два суперкорня из $a$ , причём оба они будут положительны и меньше $1$ . Эта двойственность значений объясняется тем, что функция $f(x)={}^{n}x$ немонотонна.

Суперкорень не всегда можно извлечь даже из положительного числа, что является следствием наличия у функций вида $f(x)={}^{n}x$ глобального минимума. Например, при $n=2$ производная функции $f(x)={}^{2}x$ имеет одну точку экстремума $x={\frac {1}{e}}$ , из-за чего нахождение значений суперкорня второй степени из $x$ при $0<x<{\biggl (}{\frac {1}{e}}{\biggr )}^{\frac {1}{e}}$ становится невозможным (см. график).

Примеры

Примеры извлечения суперкорня из положительного действительного числа:

Суперкорень четвёртой степени из 65536 равен 2, так как $2^{2^{2^{2}}}=65536;$
Суперкорень второй степени из 27 равен 3, так как $3^{3}=27;$
Суперкорень второй степени из ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ имеет два значения: ${\frac {1}{2}}$ и ${\frac {1}{4}}$ , так как ${\biggl (}{\frac {1}{4}}{\biggr )}^{\frac {1}{4}}={\biggl (}{\frac {1}{2^{2}}}{\biggr )}^{\frac {1}{4}}={\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{2\times {\frac {1}{4}}}={\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{\frac {1}{2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}.$

Суперкорень второй степени и функция Ламберта

Функция суперкорня второй степени выражается через W-функцию Ламберта^[1]. А именно решением уравнения $x^{x}=a$ является

\mathrm {ssrt} (a)=e^{W(\mathrm {ln} (a))}

.

Так как функция Ламберта $W(z)$ является многозначной функцией на интервале $(-{\frac {1}{e}},0)$ , то и извлечения суперкорня второй степени является неоднозначной на $(e^{-1/e},1)$ .

Открытые проблемы

Ни для какого целого $n>3$ неизвестно, является ли корень уравнения ${}^{n}x=2$ рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

Примечания

↑ Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. On the Lambert W function (неопр.) // Advances in Computational Mathematics. — 1996. — Т. 5. — С. 333. — doi:10.1007/BF02124750.

Ссылки

Сайт про тетрацию Эндрю Робинса.
Сайт про тетрацию Даниэля Гэйслера.
Форум по обсуждению тетрации.
Кузнецов Д. Тетрация как специальная функция // Владикавказский математический журнал. — 2010.

[Corless-1] Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. On the Lambert W function (неопр.) // Advances in Computational Mathematics. — 1996. — Т. 5. — С. 333. — doi:10.1007/BF02124750.

[1]