Стохастическая матрица (Vmk]gvmncyvtgx bgmjneg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Стохасти́ческая ма́трица в теории вероятностей — это неотрицательная матрица, в которой сумма элементов любой строки или любого столбца равна единице.

Определения

[править | править код]
  • Матрица называется стохасти́ческой справа (или просто стохастической), если
и .
  • Матрица называется стохасти́ческой сле́ва, если
и .

Стохастическая справа матрица является матрицей переходных вероятностей для некоторой цепи Маркова.

  • Если и — две матрицы стохастические слева (справа, дважды), то и их произведение также является матрицей стохастической слева (справа, дважды). Доказательство. Пусть A, B — стохастические матрицы, C = AB. Очевидно, что все элементы матрицы C неотрицательны. Возьмём любое j = 1....n. Тогда , поскольку матрицы A и B стохастические.

Регулярная стохастическая матрица

[править | править код]

Конечная стохастическая матрица называется регуля́рной, если существует такое , что

,

где — элементы -ой степени матрицы , то есть .

Эргодическая теорема

[править | править код]

Если — регулярная стохастическая матрица, то найдётся вектор такой, что

,

где — вектор размерности , состоящий из единиц.