Спрос Хикса (Vhjkv }ntvg)

В теории потребителя спрос Хикса отражает те наборы, которые потребитель выберет при заданных ценах и уровне полезности, решая задачу минимизации своих расходов. Назван по имени английского экономиста Хикса. Также называют компенсированным спросом.

Математическая запись

h(p,{\bar {u}})=\arg \min _{x}\sum _{i}p_{i}x_{i},

{\text{при}}\ \ u(x)\geq {\bar {u}},

где h(p,u) — спрос Хикса при ценах p и значении функции полезности ${\bar {u}}$ .

В случае когда известна функция расходов $e(p,u)$ и она непрерывна в точке $({\bar {p}},\ {\bar {u}})$ , компенсированный спрос может быть найден по лемме Шепарда и выглядит следующим образом: $h_{i}({\bar {p}},\ {\bar {u}})=\nabla _{p}e({\bar {p}},\ {\bar {u}}).$

Двойственность в теории потребления

Удобство подхода Хикса заключается в том, что минимизируемая функция расходов имеет линейный вид, но переменные для функции маршалловского спроса (p, w), легче наблюдать на практике.

Если предпочтения потребителя являются непрерывными и функция полезности задана в нуле так, что ${\bar {u}}>u(0)$ , то спрос по Хиксу ${\tilde {x}}({\tilde {p}},\ {\bar {u}})$ является решением задачи максимизации полезности при ценах ${\tilde {p}}$ и доходе ${\tilde {I}}=e({\tilde {p}},\ {\bar {u}}))$ , где e(•) — функция расходов. При этом $v(e({\tilde {p}},\ {\bar {u}}))={\bar {u}}$ .

Обратное тоже имеет место, но при других условиях. Если предпочтения являются локально ненасыщаемыми, то маршалловский спрос ${\tilde {x}}({\tilde {p}},\ {\tilde {I}})$ является решением задачи минимизации расходов ${\tilde {x}}({\tilde {p}},\ v({\tilde {p}},\ {\tilde {I}}))$ и $e({\tilde {p}},\ v({\tilde {p}},\ {\tilde {I}}))={\tilde {I}}$ .

Свойства

При условии непрерывности функции полезности $u(x)$ и задания её в нуле таким образом, что ${\bar {u}}>u(0)$ , спрос Хикса $h(p,u)$ обладает следующими свойствами:

Однородность нулевой степени по ценам p: для всех $a>0$ , $h(ap,\ u)=h(p,\ u)$ , так как набор x, минимизирующий сумму $\sum p_{i}x_{i}$ , также минимизирует сумму $\sum ap_{i}x_{i}$ при том же бюджетном ограничении.
Ограничение $u(x)\geq {\bar {u}}$ удовлетворяется как равенство: $\forall x^{*}\in h(p,\ {\bar {u}})u(x^{*})={\bar {u}}$ . Это следует из непрерывности функции полезности, так как можно тратить меньше на некое δe и уменьшать значение полезности на δu, пока оно не станет равным в точности ${\bar {u}}$ .
Если предпочтения выпуклы, то $h(p,\ {\bar {u}})$ — выпуклое множество.
Если предпочтения строго выпуклые, то $h(p,\ {\bar {u}})$ состоит из одного элемента (является функцией компенсированного спроса).
Имеет место закон компенсированного спроса: