Это список пределов и правил их вычисления для основных функций. В перечисленных ниже примерах a и b являются константами относительно x.
- Пусть
и
. Тогда:
![{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb00a9174f995bae626da947886d0229d14b275)
![{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d8693d558a7dfc0f5f0c5900a05dd950f6f7f1)
, если ![{\displaystyle L_{2}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367d7118c2a411867307c1b631ea41b4a19c9887)
, если число в правой части и все значения левой функции в окрестности т. x=c существуют.
, если
, или
(Правило Лопиталя)
(определение производной)
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11d7e228e328f7c206e0bdf7a26f2b8684c7d4c)
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e767bb9f4576c0d40c695f593144f2ee4bee47)
(константа Непера) — Второй замечательный предел
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db2ba69ebe50f31110495ba9c7d0c45e2754281)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e67d9f7e2588c9b3d418f1107e9ea27b8f330ed)
(пи), а если заменить самый внутренний радикал
на
, то предел получится равным ![{\displaystyle {2\pi \over 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4155cc568ac60884e3651c34ef5f086e63b4ea01)
, где
— многочлен.
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a337010a50e6173a4b1c1b5953ac7ed9ed4bab)
, если r нечётно, и
, если r чётно.
При
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72808181c55d9096253749e5968f71c47c87bd9b)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05760b7abd4317908032e6ca99dca125dccee51)
![{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5300504623b781a3067f7f6a88dfb5bf0ffb46f)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940d4a0dcdd73df8b6a861aed9ab4917e9520934)
![{\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bf4a31eeee313433f14413d9e3c441d69576a9)
![{\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233fccfb3bbfdad201662ecc5dce951fd4baf7b9)
— Первый замечательный предел
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e68c22c5c70aa65f792c06b2cf2fb6e1ecfe16b)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/580636aba444eda89b876cfc9e36e1f31d40e771)
, если n — целое число.
, при любом вещественном a.
и не существует при
.
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2afa71c8dd73f6b8bdd8f9d8bb7ddceee0f32123)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&-1<a<1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80596192cd1a5376642a957f0257b8708c6d2b8e)
при любом ![{\displaystyle a>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5b9d9fb0ff9d4455e75ccd29676bd7f33da80e)
и не существует, если
.
при любом ![{\displaystyle a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a3dc39adf241c3465eb63b5e002296b7d0c57e)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7a454bbcf3fafcf6ea82fdcd1b8346c5c0d1a7)