Список кристаллографических групп (Vhnvkt tjnvmgllkijgsncyvtn] ijrhh)
Кристаллографические группы, или фёдоровские группы — набор групп симметрий, которые описывают все возможные симметрии бесконечного количества периодически расположенных точек в трёхмерном пространстве. Эта классификация симметрий была сделана независимо и почти одновременно русским математиком Фёдоровым и немецким математиком Шёнфлисом. Полученные сведения играют большую роль в кристаллографии.
Легенда к списку
[править | править код]Символ Германа — Могена
[править | править код]Символ пространственной группы содержит символ решётки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы. При этом символы осей и плоскостей симметрии в символе могут изменяться на символы винтовых осей и скользящих плоскостей в соответствии с их наличием в данном конкретном кристаллическом пространстве. Символы решётки Браве передают её тип центрировки:
- P — примитивная;
- I — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки);
- F — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней).
- С, А или В — базоцентрированная (дополнительный узел в центре грани C, A или B). Решётки типов A и B называют также бокоцентрированными;
- R — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали ячейки).
Классы
[править | править код]Для обозначения кристаллографических классов (точечных групп) приняты следующие обозначения (здесь буква n заменяет натуральное число, а буква m обозначает именно саму букву m):
- — ось симметрии n-го порядка.
- — инверсионная ось симметрии n-го порядка.
- — плоскость симметрии.
- или — ось симметрии n-го порядка и n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё.
- — ось симметрии порядка n и плоскость симметрии, к ней перпендикулярная.
- — ось симметрии порядка n и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
- — ось симметрии n-го порядка и плоскости параллельные и перпендикулярные к ней.
- или (n — чётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
- (n — нечётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
Символ Шёнфлиса
[править | править код]- Сn — циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.
- Сni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i.
- Cnv (от нем. vertikal — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
- Cnh (от нем. horizontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.
- S2, S4, S6 (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии.
- Cs — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.
- Dn — является группой Сn с добавочными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной оси.
- Dnh — также имеет горизонтальную плоскость симметрии.
- Dnd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет вертикальные диагональные плоскости симметрии, которые идут между осями симметрии второго порядка.
- O, T — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка — группы кубической сингонии. Обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии октаэдра, или буквой Т, если они содержат полный набор осей симметрии тетраэдра.
- Oh и Th — также содержат горизонтальную плоскость симметрии
- Td — также содержат диагональную плоскость симметрии
n может равняться 1, 2, 3, 4, 6.
Список всех 230 групп
[править | править код]
Номер | Класс | Число групп | Символ Германа-Могена | Символ Шёнфлиса | Изображение |
---|---|---|---|---|---|
Триклинная система | |||||
1 | 1 | ||||
2 | 1 | ||||
Моноклинная система | |||||
3-5 | 3 | ![]() Внешне человек обладает симметрией. | |||
6-9 | 4 | ||||
10-15 | 6 | ||||
Ромбическая система | |||||
16-24 | 9 | ![]() Рельсы обладают симметрией. | |||
25 - 46 | 22 | ||||
47-74 | 28 | ||||
Тетрагональная система | |||||
75-80 | 6 | ![]() Симметрия. | |||
81-82 | 2 | ||||
83-88 | 6 | ||||
89-98 | 10 | ||||
99-110 | 12 | ||||
111-122 | 12 | ||||
123-142 | 20 | ![]() Кристаллическая решётка циркона имеет симметрию. | |||
Тригональная система | |||||
143-146 | 4 | ![]() Молекула боразана обладает симметрией. | |||
147-148 | 2 | ||||
149-155 | 7 | ||||
156-161 | 6 | ||||
162-167 | 6 | ||||
Гексагональная система | |||||
168-173 | 6 | ![]() Пчелиные соты обладают симметрией. | |||
174 | 1 | ||||
175-176 | 2 | ||||
177-182 | 6 | ![]() Нанотрубка может обладать симметрией. | |||
183-186 | 4 | ||||
187-190 | 4 | ||||
191-194 | 4 | ||||
Кубическая система | |||||
195-199 | 5 | ![]() Структура алмаза имеет симметрию. | |||
200-206 | 7 | ||||
207-214 | 8 | ||||
215-220 | 6 | ||||
221-230 | 10 |
В других размерностях
[править | править код]У периодических структур в одномерном пространстве есть всего два типа симметрии. Они могут быть проиллюстрированы последовательностями символов:
... *- *- *- *- *- *- *- ... ... |^_^|^_^|^_^|^_^|^_^|^_^| ..
Первая бесконечная последовательность симметрична только относительно трансляции (на три символа), вторая последовательность симметрична ещё и относительно отражения.
В двумерном пространстве существует 17 типов симметрии периодических структур.
Количество групп симметрий произвольного n-мерного пространства описывается последовательностью A006227.
Последующая классификация
[править | править код]Группы можно разделить на симморфные и несимморфные. Симморфными называются такие симметрии, которые можно составить путём поворота вокруг осей, а также отражения от плоскостей, которые все проходят через одну точку. Симморфные пространственные группы содержат в качестве подгрупп точечные группы симметрии, отвечающие классу, к которому принадлежит данная пространственная группа.
Все 230 групп можно разделить на 32 класса. В каждом классе есть симметрия, оставляющая хотя бы одну точку пространства неподвижной. Количество элементов в классах колеблется от 1 до 28.
Классы можно разделить на системы (сингонии). Есть 7 сингоний. В каждой сингонии найдётся хотя бы одна предельная группа.
См. также
[править | править код]Литература
[править | править код]- International Tables for Crystallography. Volume A: Space-group symmetry / Edited by M. I. Aroyo. — International Union of Crystallography, 2016. — ISBN 978-0-470-97423-0.