Спектральный радиус — понятие в математике , определяемое для квадратной матрицы как максимум абсолютных значений её собственных значений [ 1] линейного ограниченного оператора — это точная верхняя граница абсолютных значений элементов его спектра . Спектральный радиус часто обозначается ρ(·) .
Пусть λ 1 , ..., λn A ∈ C n ×n A
ρ
(
A
)
=
max
{
|
λ
1
|
,
…
,
|
λ
n
|
}
.
{\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.}
Спектральный радиус можно представить как точную нижнюю границу всех норм матрицы. Действительно, с одной стороны,
ρ
(
A
)
⩽
‖
A
‖
{\displaystyle \rho (A)\leqslant \|A\|}
естественной нормы матрицы
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
ρ
(
A
)
=
lim
k
→
∞
‖
A
k
‖
1
/
k
{\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}}
Однако спектральный радиус не обязательно удовлетворяет
‖
A
v
‖
⩽
ρ
(
A
)
‖
v
‖
{\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}
v
∈
C
n
{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}
r
>
1
{\displaystyle r>1}
C
r
=
(
0
r
−
1
r
0
)
{\displaystyle C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}}
Характеристический многочлен матрицы
C
r
{\displaystyle C_{r}}
λ
2
−
1
{\displaystyle \lambda ^{2}-1}
{
−
1
,
1
}
{\displaystyle \{-1,1\}}
ρ
(
C
r
)
=
1
{\displaystyle \rho (C_{r})=1}
C
r
e
1
=
r
e
2
{\displaystyle C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}}
‖
C
r
e
1
‖
=
r
>
1
=
ρ
(
C
r
)
‖
e
1
‖
.
{\displaystyle \|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|.}
В качестве иллюстрации формулы Гельфанда заметим, что
‖
C
r
k
‖
1
/
k
→
1
{\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1}
k
→
∞
{\displaystyle k\to \infty }
C
r
k
=
I
{\displaystyle C_{r}^{k}=I}
k
{\displaystyle k}
C
r
k
=
C
r
{\displaystyle C_{r}^{k}=C_{r}}
k
{\displaystyle k}
Особым случаем, когда
‖
A
v
‖
⩽
ρ
(
A
)
‖
v
‖
{\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}
v
∈
C
n
{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}
A
{\displaystyle A}
эрмитова матрица и
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
евклидова норма . Это связано с тем, что любая эрмитова матрица является диагонализируемой унитарной матрицей, а унитарные матрицы сохраняют длину вектора. В результате,
‖
A
v
‖
=
‖
U
∗
D
U
v
‖
=
‖
D
U
v
‖
⩽
ρ
(
A
)
‖
U
v
‖
=
ρ
(
A
)
‖
v
‖
.
{\displaystyle \|A\mathbf {v} \|=\|U^{*}DU\mathbf {v} \|=\|DU\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|U\mathbf {v} \|=\rho (A)\|\mathbf {v} \|.}
В контексте ограниченного линейного оператора A на банаховом пространстве собственные значения нужно заменить элементами спектра оператора , то есть значениями
λ
{\displaystyle \lambda }
A
−
λ
I
{\displaystyle A-\lambda I}
σ
(
A
)
=
{
λ
∈
C
:
A
−
λ
I
не биективный
}
{\displaystyle \sigma (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} :A-\lambda I\;{\text{не биективный}}\right\}}
Спектральный радиус определяется как точная верхняя грань величин элементов спектра:
ρ
(
A
)
=
sup
λ
∈
σ
(
A
)
|
λ
|
.
{\displaystyle \rho (A)=\sup _{\lambda \in \sigma (A)}|\lambda |.}
Формула Гельфанда, также известная как формула спектрального радиуса, справедлива и для ограниченных линейных операторов: пусть
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
ρ
(
A
)
=
lim
k
→
∞
‖
A
k
‖
1
k
=
inf
k
∈
N
∗
‖
A
k
‖
1
k
.
{\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}=\inf _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}
Ограниченный оператор (на комплексном гильбертовом пространстве) называется спектралоидным оператором , если его спектральный радиус совпадает с числовым радиусом [англ.] нормальный оператор .
Спектральный радиус конечного графа определяется как спектральный радиус его матрицы смежности .
Это определение распространяется на случай бесконечных графов с ограниченными степенями вершин (то есть существует некоторое вещественное число C такое, что степень каждой вершины графа меньше C ). В этом случае, для графа G определяем:
ℓ
2
(
G
)
=
{
f
:
V
(
G
)
→
R
:
∑
v
∈
V
(
G
)
‖
f
(
v
)
2
‖
<
∞
}
.
{\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}
Пусть γ — оператор смежности G :
{
γ
:
ℓ
2
(
G
)
→
ℓ
2
(
G
)
(
γ
f
)
(
v
)
=
∑
(
u
,
v
)
∈
E
(
G
)
f
(
u
)
{\displaystyle {\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}}
Спектральный радиус G определяется как спектральный радиус ограниченного линейного оператора γ .
Следующее утверждение предоставляет простые, но полезные верхние границы на спектральный радиус матрицы
Утверждение. Пусть A ∈ C n ×n ρ (A )согласованной нормой матрицы ||⋅|| . Тогда, для каждого целого
k
⩾
1
{\displaystyle k\geqslant 1}
ρ
(
A
)
≤
‖
A
k
‖
1
k
.
{\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}
Доказательство
Пусть (v , λ ) — пара собственного вектора и собственного значения для матрицы A . В силу субмультипликативности нормы матрицы получаем:
|
λ
|
k
‖
v
‖
=
‖
λ
k
v
‖
=
‖
A
k
v
‖
≤
‖
A
k
‖
⋅
‖
v
‖
.
{\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|.}
Поскольку v ≠ 0
|
λ
|
k
≤
‖
A
k
‖
{\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}
и поэтому
ρ
(
A
)
≤
‖
A
k
‖
1
k
,
{\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}},}
что и требовалось доказать.
Существует множество верхних границ для спектрального радиуса графа в терминах его количества n вершин и количества m рёбер. Например, если
(
k
−
2
)
(
k
−
3
)
2
≤
m
−
n
≤
k
(
k
−
3
)
2
{\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}
где
3
≤
k
≤
n
{\displaystyle 3\leq k\leq n}
[ 2]
ρ
(
G
)
≤
2
m
−
n
−
k
+
5
2
+
2
m
−
2
n
+
9
4
{\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}}
Спектральный радиус тесно связан с поведением сходимости последовательности степеней матрицы, как показано в следующей теореме.
Теорема. Пусть A ∈ C n ×n ρ (A )ρ (A ) < 1
lim
k
→
∞
A
k
=
0.
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0.}
С другой стороны, если ρ (A ) > 1
lim
k
→
∞
‖
A
k
‖
=
∞
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty }
C n ×n
Доказательство
Допустим, что
A
k
{\displaystyle A^{k}}
k
{\displaystyle k}
ρ (A ) < 1(v , λ ) — пара собственного вектора и собственного значения для A . Так как Ak v = λk v
0
=
(
lim
k
→
∞
A
k
)
v
=
lim
k
→
∞
(
A
k
v
)
=
lim
k
→
∞
λ
k
v
=
v
lim
k
→
∞
λ
k
.
{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}.\end{aligned}}}
Поскольку v ≠ 0
lim
k
→
∞
λ
k
=
0
,
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0,}
из чего следует, что |λ| < 1. Поскольку это должно быть верным для любого собственного значения λ, мы можем сделать вывод, что ρ (A ) < 1
Теперь предположим, что радиус A меньше 1 . Из теоремы о жордановой нормальной форме известно, что для всех A ∈ C n ×n V , J ∈ C n ×n V — невырожденная и J — блочная диагональная, такие что:
A
=
V
J
V
−
1
{\displaystyle A=VJV^{-1}}
с
J
=
[
J
m
1
(
λ
1
)
0
0
⋯
0
0
J
m
2
(
λ
2
)
0
⋯
0
⋮
⋯
⋱
⋯
⋮
0
⋯
0
J
m
s
−
1
(
λ
s
−
1
)
0
0
⋯
⋯
0
J
m
s
(
λ
s
)
]
{\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}
где
J
m
i
(
λ
i
)
=
[
λ
i
1
0
⋯
0
0
λ
i
1
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋱
⋮
0
0
⋯
λ
i
1
0
0
⋯
0
λ
i
]
∈
C
m
i
×
m
i
,
1
≤
i
≤
s
.
{\displaystyle J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.}
Легко заметить, что
A
k
=
V
J
k
V
−
1
{\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}}
и, поскольку J — блочно-диагональная,
J
k
=
[
J
m
1
k
(
λ
1
)
0
0
⋯
0
0
J
m
2
k
(
λ
2
)
0
⋯
0
⋮
⋯
⋱
⋯
⋮
0
⋯
0
J
m
s
−
1
k
(
λ
s
−
1
)
0
0
⋯
⋯
0
J
m
s
k
(
λ
s
)
]
.
{\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}.}
Теперь стандартный результат k -ой степени блока Жордана размера
m
i
×
m
i
{\displaystyle m_{i}\times m_{i}}
k
≥
m
i
−
1
{\displaystyle k\geq m_{i}-1}
J
m
i
k
(
λ
i
)
=
[
λ
i
k
(
k
1
)
λ
i
k
−
1
(
k
2
)
λ
i
k
−
2
⋯
(
k
m
i
−
1
)
λ
i
k
−
m
i
+
1
0
λ
i
k
(
k
1
)
λ
i
k
−
1
⋯
(
k
m
i
−
2
)
λ
i
k
−
m
i
+
2
⋮
⋮
⋱
⋱
⋮
0
0
⋯
λ
i
k
(
k
1
)
λ
i
k
−
1
0
0
⋯
0
λ
i
k
]
{\displaystyle J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}}
Таким образом, если
ρ
(
A
)
<
1
{\displaystyle \rho (A)<1}
i верно
|
λ
i
|
<
1
{\displaystyle |\lambda _{i}|<1}
i у нас есть:
lim
k
→
∞
J
m
i
k
=
0
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0}
из чего следует
lim
k
→
∞
J
k
=
0.
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0.}
Следовательно,
lim
k
→
∞
A
k
=
lim
k
→
∞
V
J
k
V
−
1
=
V
(
lim
k
→
∞
J
k
)
V
−
1
=
0.
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0.}
С другой стороны, если
ρ
(
A
)
>
1
{\displaystyle \rho (A)>1}
J не остается ограниченным при увеличении k , что доказывает вторую часть утверждения.
Формула Гельфанда, названная в честь Израиля Гельфанда , предоставляет спектральный радиус как предел матричных норм.
Для любой матричной нормы ||⋅||, у нас есть[ 3]
ρ
(
A
)
=
lim
k
→
∞
‖
A
k
‖
1
k
{\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}
Более того, в случае согласованной матричной нормы
lim
k
→
∞
‖
A
k
‖
1
k
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}
ρ
(
A
)
{\displaystyle \rho (A)}
ρ
(
A
)
≤
‖
A
k
‖
1
k
{\displaystyle \rho (A)\leq \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}
k
{\displaystyle k}
Для любого ε > 0
A
±
=
1
ρ
(
A
)
±
ε
A
.
{\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.}
Таким образом,
ρ
(
A
±
)
=
ρ
(
A
)
ρ
(
A
)
±
ε
,
ρ
(
A
+
)
<
1
<
ρ
(
A
−
)
.
{\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).}
Начнем с применения предыдущей теормы о пределах последовательностей степеней к A +
lim
k
→
∞
A
+
k
=
0.
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.}
Это показывает существование N + ∈ N k ≥ N +
‖
A
+
k
‖
<
1.
{\displaystyle \left\|A_{+}^{k}\right\|<1.}
Поэтому,
‖
A
k
‖
1
k
<
ρ
(
A
)
+
ε
.
{\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .}
Аналогично, теорема о последовательностях степеней подразумевает, что
‖
A
−
k
‖
{\displaystyle \|A_{-}^{k}\|}
N − ∈ N k ≥ N− ,
‖
A
−
k
‖
>
1.
{\displaystyle \left\|A_{-}^{k}\right\|>1.}
Следовательно,
‖
A
k
‖
1
k
>
ρ
(
A
)
−
ε
.
{\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .}
Пусть N = max{N + , N −
∀
ε
>
0
∃
N
∈
N
∀
k
≥
N
ρ
(
A
)
−
ε
<
‖
A
k
‖
1
k
<
ρ
(
A
)
+
ε
,
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon ,}
то есть,
lim
k
→
∞
‖
A
k
‖
1
k
=
ρ
(
A
)
,
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A),}
что и требовалось доказать.
Формула Гельфанда даёт оценку спектрального радиуса произведения коммутирующих матриц: если
A
1
,
…
,
A
n
{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}
ρ
(
A
1
⋯
A
n
)
≤
ρ
(
A
1
)
⋯
ρ
(
A
n
)
.
{\displaystyle \rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).}
Рассмотрим матрицу
A
=
[
9
−
1
2
−
2
8
4
1
1
8
]
,
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}},}
собственные значения которой равны 5, 10, 10 ; по определению, ρ (A ) = 10
‖
A
k
‖
1
k
{\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}}
‖
.
‖
1
=
‖
.
‖
∞
{\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}
k
‖
⋅
‖
1
=
‖
⋅
‖
∞
{\displaystyle \|\cdot \|_{1}=\|\cdot \|_{\infty }}
‖
⋅
‖
F
{\displaystyle \|\cdot \|_{F}}
‖
⋅
‖
2
{\displaystyle \|\cdot \|_{2}}
1
14
15.362291496
10.681145748
2
12.649110641
12.328294348
10.595665162
3
11.934831919
11.532450664
10.500980846
4
11.501633169
11.151002986
10.418165779
5
11.216043151
10.921242235
10.351918183
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
10
10.604944422
10.455910430
10.183690042
11
10.548677680
10.413702213
10.166990229
12
10.501921835
10.378620930
10.153031596
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
20
10.298254399
10.225504447
10.091577411
30
10.197860892
10.149776921
10.060958900
40
10.148031640
10.112123681
10.045684426
50
10.118251035
10.089598820
10.036530875
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
100
10.058951752
10.044699508
10.018248786
200
10.029432562
10.022324834
10.009120234
300
10.019612095
10.014877690
10.006079232
400
10.014705469
10.011156194
10.004559078
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
1000
10.005879594
10.004460985
10.001823382
2000
10.002939365
10.002230244
10.000911649
3000
10.001959481
10.001486774
10.000607757
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
10000
10.000587804
10.000446009
10.000182323
20000
10.000293898
10.000223002
10.000091161
30000
10.000195931
10.000148667
10.000060774
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
100000
10.000058779
10.000044600
10.000018232
↑ Gradshteĭn, I. S. Table of integrals, series, and products . — Corr. and enl. — New York : Academic Press, 1980. — ISBN 0-12-294760-6 .↑ Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin (2019). "Sharp upper bounds of the spectral radius of a graph" . Discrete Mathematics (англ.) . 342 (9): 2559—2563. doi :10.1016/j.disc.2019.05.017 S2CID 198169497 . ↑ формула выполняется для любой банаховой алгебры ; см. лемму IX.1.8 в Dunford & Schwartz, 1963 и Lax, 2002 , pp. 195–197
Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob (1963), Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space , Interscience Publishers, Inc. Lax, Peter D. (2002), Functional Analysis , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1 
