Совершенное пространство (Vkfyjoyuuky hjkvmjguvmfk)

Совершенное топологическое пространство — топологическое пространство, в котором каждое замкнутое множество является G_δ-множеством, то есть представимо в виде счётного пересечения открытых множеств^[1].

Э. Майкл^[англ.] в 1953 году доказал^[2], что совершенные пространства выдерживают умножение на метризуемые, т. е. имеет место следующая теорема: произведение $X\times Y$ совершенного пространства $X$ и метризуемого пространства $Y$ есть совершенное пространство.

Известно^[2], что сами нормальность и наследственная нормальность не сохраняются при умножении на метризуемое пространство, однако произведение совершенно нормального пространства $X$ и метризуемого пространства $Y$ остаётся совершенно нормальным!

Примеры

Прямая $\mathbb {R}$ , отрезок $\mathbb {I}$ , евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ и более общо — любое метризуемое пространство.
Плоскость Немыцкого $L$ является примером тихоновского совершенного неметризуемого пространства.

Примечания

↑ Энгелькинг, 1986, с. 86.
↑ ¹ ² Энгелькинг, 1986, с. 436.

Литература

Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 86,102,436. — 752 с.

[_66d9b323e0000c75-1] Энгелькинг, 1986, с. 86.

[_c4205df5a0375b4a-2] ¹ ² Энгелькинг, 1986, с. 436.

[1]

[2]