Слово Фибоначчи (Vlkfk SnQkugccn)

Слово Фибоначчи — это некоторая последовательность двоичных цифр (или символов из любого двухбуквенного алфавита). Слово Фибоначчи формируется путём повторения конкатенации тем же образом, что и числа Фибоначчи образуются путём повторяемых сложений.

Слово Фибоначчи является хрестоматийным примером слова Штурма^[англ.].

Название «слово Фибоначчи» используется также для обозначения членов формального языка L, содержащего строки из нулей и единиц без рядом стоящих единиц. Любая часть конкретного слова Фибоначчи принадлежит L, но в языке много и других строк. В языке L число строк каждой возможной длины является числом Фибоначчи.

Определение

Пусть $S_{0}$ равно «0», а $S_{1}$ равно «01». Теперь $S_{n}=S_{n-1}S_{n-2}$ (конкатенация предыдущего члена и члена до него).

Бесконечное слово Фибоначчи — это предел $S_{\infty }$ .

Перечисление членов последовательности из определения выше даёт:

$S_{0}$ 0

$S_{1}$ 01

$S_{2}$ 010

$S_{3}$ 01001

$S_{4}$ 01001010

$S_{5}$ 0100101001001

…

Первые несколько элементов бесконечного слова Фибоначчи:

0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, … (последовательность A003849 в OEIS)

Выражение в замкнутой форме для конкретных цифр

Цифра с номером n слова равна $2+\left\lfloor {{n}\,\varphi }\right\rfloor -\left\lfloor {\left({n+1}\right)\,\varphi }\right\rfloor$ , где $\varphi$ — золотое сечение, а $\left\lfloor x\right\rfloor$ — функция «floor» («пол»).

Правила подстановки

Другой способ перехода от S_n к S_n + 1 — замена каждого символа 0 в S_n парой символов 0, 1 и замена каждого 1 на 0.

Альтернативно, можно представить генерацию всего бесконечного слова Фибоначчи с помощью следующего процесса. Начинаем с символа 0, на него устанавливаем курсор. На каждом шаге, если курсор указывает на 0, добавляем 1 и 0 в конец слова, а если курсор указывает на 1, добавляем 0 в конец слова. В любом случае шаг завершается передвижением на одну позицию вправо.

Похожее бесконечное слово иногда называется золотой струной или кроличьей последовательностью, образуется аналогичным бесконечным процессом, но правило замены другое — если курсор указывает на 0, добавляем 1, а если указывает на 1, добавляем 0, 1. Результирующая последовательность начинается с

0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, …

Однако эта последовательность отличается от слова Фибоначчи тривиально — нули заменяются на единицы и вся последовательность сдвигается на единицу.

Выражение в замкнутой форме для золотой струны:

Цифра с номером n слова равна $\left\lfloor {{n}\,\varphi }\right\rfloor -\left\lfloor {\left({n-1}\right)\,\varphi }\right\rfloor -1$ , где $\varphi$ — золотое сечение, а $\left\lfloor x\right\rfloor$ — функция «floor».

Обсуждение

Слово связано со знаменитой последовательностью с тем же именем (последовательность Фибоначчи) в том смысле, что сложение целых чисел в индуктивном определении заменяется конкатенацией строк. Это приводит к тому, что длина S_n равна F_n + 2, (n + 2)-ому числу Фибоначчи. Также число единиц в S_n равно F_n, а число нулей в S_n равно F_n + 1.

Другие свойства

Бесконечное слово Фибоначчи не является периодическим и не является финально периодическим^[1].
Две последних цифры слова Фибоначчи либо «01», либо «10».
Удаление двух последних букв слова Фибоначчи или добавление в начало дополнения двух последних букв создаёт палиндром. Пример: 01 $S_{4}$ =0101001010 является палиндромом. Палиндромическая плотность бесконечного слова Фибоначчи равна 1/φ, где φ — золотое сечение. Это наибольшее возможное значение для непериодических слов^[2].
В бесконечном слове Фибоначчи отношение (число цифр)/(число нулей) равно φ, так же, как и отношение числа нулей к числу единиц.
Бесконечное слово Фибоначчи является сбалансированной последовательностью^[англ.]. Возьмём две подстроки той же самой длины где-либо в слове Фибоначчи. Разница между их весами Хэмминга (число единиц) никогда не превышает 1^[3].
Подслова 11 и 000 никогда не встречаются.
Функция сложности^[англ.] бесконечного слова Фибоначчи равна n+1 — оно содержит n+1 различных подслов длины n. Пример: Имеется 4 различных подслов длины 3 : «001», «010», «100» и «101». Будучи непериодической последовательностью, слово имеет «минимальную сложность», а потому является словом Штурма^[англ.]^[4] с наклоном $1/\phi ^{2}$ . Бесконечное слово Фибоначчи является стандартным словом^[англ.], образованным директивной последовательностью^[англ.] (1,1,1,….).
Бесконечное слово Фибоначчи рекуррентно. То есть любое подслово встречается бесконечно часто.
Если $u$ является подсловом бесконечного слова Фибоначчи, то подсловом является его обратное, обозначаемое $u^{R}$ .
Если $u$ является подсловом бесконечного слова Фибоначчи, то наименьший период $u$ является числом Фибоначчи.
Конкатенация двух последовательностей слов Фибоначчи «почти коммутативна». $S_{n+1}=S_{n}S_{n-1}$ и $S_{n-1}S_{n}$ отличаются только в последних двух буквах.
Как следствие, бесконечное число Фибоначчи может быть описано последовательностью сечений прямой с наклоном $\phi$ или $\phi -1$ . См. рисунок выше.
Число 0,010010100…, десятичные цифры которого являются цифрами бесконечного слова Фибоначчи, трансцендентно.
Буквы «1» можно найти в позициях, задаваемых последовательными значениями верхней последовательности Витхоффа (OEIS A001950): $\lfloor n\phi ^{2}\rfloor$
Буквы «0» можно найти в позициях, задаваемых последовательными значениями нижней последовательности Витхоффа (OEIS A000201): $\lfloor n\phi \rfloor$
Распределение $n=F_{k}$ точек на единичной окружности, размещённых последовательно по часовой стрелке на золотой угол ${\frac {2\pi }{\phi ^{2}}}$ , образует шаблон из двух длин ${\frac {2\pi }{\phi ^{k-1}}},{\frac {2\pi }{\phi ^{k}}}$ на единичной окружности. Хотя описанный выше процесс образования слова Фибоначчи не соответствует напрямую последовательному делению сегментов окружности, этот шаблон равен $S_{k-1}$ , если начинать с точки, ближайшей по часовой стрелке, при этом 0 соответствует длинному расстоянию, а 1 соответствует короткому расстоянию.
Бесконечное слово Фибоначчи может содержать повторение 3 последовательных идентичных подслов, но никогда не содержит 4 таких подслова. Критический индекс^[англ.] для бесконечного слова Фибоначчи равен $2+\phi =3,618$ повторений^[5]. Это наименьший индекс (или критический индекс) среди всех слов Штурма.
Бесконечное слово Фибоначчи часто упоминается как худший случай^[англ.] для алгоритмов выявления повторений в строке.
Бесконечное слово Фибоначчи является морфическим словом^[англ.], образованным из {0,1}* путём эндоморфизма 0 → 01, 1 → 0^[6].

Приложения

Построения слов Фибоначчи используются для моделирования физических систем с непериодическим порядком, таких как квазикристаллы, и изучения свойств рассеяния света кристаллов со слоями Фибоначчи^[7].

См. также

Примечания

↑ Последовательность $v=(v_{0},v_{1},\ldots )$ называется финально периодической с параметрами $(T,\tau )$ , если выполняется условие $v_{k+T}=v_{k}$ для $k\geqslant \tau$ , где $T$ и $\tau$ целые, $T>0$ , $\tau >0$ . Наименьшее такое число $T$ называется периодом последовательности. Последовательность называется $T$ -периодической, если $\tau =0$ (Липницкий, Чесалин, 2008, с. 27).
↑ Adamczewski, Bugeaud, 2010, с. 443.
↑ Lothaire, 2011, с. 47.
↑ de Luca, 1995.
↑ Allouche, Shallit, 2003, с. 37.
↑ Lothaire, 2011, с. 11.
↑ Dharma-wardana, MacDonald, Lockwood, Baribeau, Houghton, 1987.

Литература

Jean-Paul Allouche, Jeffrey Shallit. Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. — Cambridge University Press, 2003. — ISBN 978-0-521-82332-6.
Dharma-wardana M. W. C., MacDonald A. H., Lockwood D. J., Baribeau J.-M., Houghton D. C. Raman scattering in Fibonacci superlattices // Physical Review Letters. — 1987. — Т. 58. — С. 1761–1765. — doi:10.1103/physrevlett.58.1761.
Lothaire M. Combinatorics on Words. — 2nd. — Cambridge University Press, 1997. — Т. 17. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications). — ISBN 0-521-59924-5.
Lothaire M. Algebraic Combinatorics on Words. — Cambridge University Press, 2011. — Т. 90. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications).. Reprint of the 2002 hardback.
Aldo de Luca. A division property of the Fibonacci word // Information Processing Letters. — 1995. — Т. 54, вып. 6. — С. 307–312. — doi:10.1016/0020-0190(95)00067-M.
Mignosi F., Pirillo G. Repetitions in the Fibonacci infinite word // Informatique théorique et application. — 1992. — Т. 26, вып. 3. — С. 199–204.
Boris Adamczewski, Yann Bugeaud. Chapter 8. Transcendence and diophantine approximation // Combinatorics, automata, and number theory / Valérie Berthé, Michael Rigo. — Cambridge: Cambridge University Press, 2010. — Т. 135. — С. 443. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). — ISBN 978-0-521-51597-9.
Липницкий В. А., Чесалин Н. В. Линейные коды и кодовые последовательности: учеб.-метод. Пособие для студентов мех.-мат. Фак. БГУ. — Минск: БГУ, 2008.

Ссылки

A detailed and accessible description, on Ron Knott’s site
Weisstein, Eric W. Rabbit Sequence (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Видео на YouTube

[1] Последовательность $v=(v_{0},v_{1},\ldots )$ называется финально периодической с параметрами $(T,\tau )$ , если выполняется условие $v_{k+T}=v_{k}$ для $k\geqslant \tau$ , где $T$ и $\tau$ целые, $T>0$ , $\tau >0$ . Наименьшее такое число $T$ называется периодом последовательности. Последовательность называется $T$ -периодической, если $\tau =0$ (Липницкий, Чесалин, 2008, с. 27).

[_a536b7ea553dc163-2] Adamczewski, Bugeaud, 2010, с. 443.

[_bc15f7e28f87325c-3] Lothaire, 2011, с. 47.

[_730f2321428cc729-4] Luca, 1995.

[_dbdbbc4129695982-5] Allouche, Shallit, 2003, с. 37.

[_bc15fae28f8737b5-6] Lothaire, 2011, с. 11.

[_f9fadc5a572c5a1a-7] Dharma-wardana, MacDonald, Lockwood, Baribeau, Houghton, 1987.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]