Словарная метрика на группе (Vlkfgjugx bymjntg ug ijrhhy)
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Словарная метрика — способ задавать расстояния на конечнопорождённой группе.
Конструкция
[править | править код]Если выбрана и зафиксирована конечная система образующих в конечнопорождённой группе , то расстояние между элементами и — это наименьшее число образующих и обратных к ним, в произведение которых раскладывается частное .
Свойства
[править | править код]- Словарная метрика левоинвариантна; то есть сохраняется умножении слева на фиксированный элемент группы.
- Для неабелевых групп она, вообще говоря, не является правоинвариантной.
- Словарная метрика совпадает с расстоянием в графе Кэли для той же системы образующих.
- Словарная метрика не сохраняется при замене системы образующих, однако она изменяется квазиизометрично (в данном случае это то же самое, что билипшицевым образом). То есть для некоторых констант имеет место:
- .
- В частности, это позволяет применять с помощью словарной метрики к группе геометрические понятия, сохраняющиеся при квазиизометрии. Например, говорить о степени роста группы (полиномиальной, экспоненциальной, промежуточной) и о её гиперболичности.
Вариации и обобщения
[править | править код]Аналогичным способом словарная метрика может быть построена на произвольной группе (не обязательно конечнопорождённой), при этом становится необходимо брать бесконечную систему образующих и многие описанные свойства перестают выполняться.
Ссылки
[править | править код]- J. W. Cannon, Geometric group theory, in Handbook of geometric topology pages 261--305, North-Holland, Amsterdam, 2002, ISBN 0-444-82432-4
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|