Сепаратриса (Vyhgjgmjnvg)

Сепаратри́са — линия на фазовой плоскости, разделяющая области с разным характером решений дифференциального уравнения^[1]^[2]^[3]. Сепаратрисы начинаются и заканчиваются в седловых стационарных точках, либо на бесконечности. Сепаратриса может разделять области, например, колебательного и вращательного движения, либо отделять область регулярного движения от хаотического.

Пример: математический маятник

Простым примером фазового пространства с сепаратрисой является математический маятник. Его движение описывается следующим уравнением:

{d^{2}\theta  \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0

,

где $\ell$ — длина маятника, $g$ — ускорение свободного падения, $\theta$ угол отклонения от вертикали. В такой системе, вследствие сохранения энергии, гамильтониан является интегралом движения:

H={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{\ell }}\cos \theta =inv

.

Фазовые траектории зависят от значения H. При $H<-{\frac {g}{\ell }}$ решений нет, поскольку угол $\theta$ и его производная ${\dot {\theta }}$ должны быть вещественными. При $-{\frac {g}{\ell }}<H<{\frac {g}{\ell }}$ фазовые траектории имеют замкнутый вид, что соответствует финитному колебательному движению маятника. Наконец, при $H>{\frac {g}{\ell }}$ фазовые тракетории незамкнуты, маятник совершает вращательное движение. Между двумя областями с разным характером движения имеется сепаратриса, соответствующая $H={\frac {g}{\ell }}$ . Внутри сепаратрисы движение колебательное, и период растёт с ростом значения H (т.е. с амплитудой). Движение по сепаратрисе происходит за бесконечное время, маятник замедляется при приближении к седловой точке^[1].